Resolva os edos seguintes (4 ponto):
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Esse problema pertence ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO não linear do tipo Bernoulli. Para resolver essa equação, vamos precisar aplicar a técnica de transformação de Bernoulli para torná-la linear e facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Assim, temos:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Passo 3
Observamos que a equação está na forma de uma EDO de Bernoulli:
onde:
Passo 4
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Como
, podemos substituir
:
Passo 6
Rearranjando a equação:
Agora, temos uma equação diferencial linear em
.
Passo 7
Vamos calcular o fator integrante
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Vamos resolver a integral do lado direito:
Expandindo o integrando:
Simplificando:
Percebemos que alguns termos se cancelam:
Passo 10
Substituindo de volta na equação integrada:
Isolando
:
Simplificando
:
Portanto:
Passo 11
Lembrando que
, então:
Invertendo ambos os lados para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Seja
o vetor unitário normal à curva fechada simples diferenciável
cada ponto, orientada para a região exterior à curva e seja
a região interior a
, ou seja
.
b) Mostre que se é um campo vetorial de classe
, definido em
e seu interior, então:
b) Mostre que se
que é um resultado conhecido como teorema da divergência.
Calcule
a) sendo a elipse
, percorrida no sentido antihorário.
a)
Resolva os edos seguintes (4 ponto):
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