Resolva os edos seguintes (4 ponto):

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Esse problema pertence ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO não linear do tipo Bernoulli. Para resolver essa equação, vamos precisar aplicar a técnica de transformação de Bernoulli para torná-la linear e facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Assim, temos:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:

Passo 3

Observamos que a equação está na forma de uma EDO de Bernoulli:
onde:

Passo 4

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 5

Substituindo da equação original na expressão de :
Simplificando:
Como , podemos substituir :

Passo 6

Rearranjando a equação:
Agora, temos uma equação diferencial linear em .

Passo 7

Vamos calcular o fator integrante :
Sabemos que , então:

Passo 8

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 9

Vamos resolver a integral do lado direito:
Expandindo o integrando:
Simplificando:
Percebemos que alguns termos se cancelam:

Passo 10

Substituindo de volta na equação integrada:
Isolando :
Simplificando :
Portanto:

Passo 11

Lembrando que , então:
Invertendo ambos os lados para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Seja o vetor unitário normal à curva fechada simples diferenciável cada ponto, orientada para a região exterior à curva e seja a região interior a , ou seja .
b) Mostre que se é um campo vetorial de classe , definido em e seu interior, então:
que é um resultado conhecido como teorema da divergência.
Calcule
a) sendo a elipse , percorrida no sentido antihorário.
Resolva os edos seguintes (4 ponto):
Resolva os edos seguintes (4 ponto):