Seja
o vetor unitário normal à curva fechada simples diferenciável
cada ponto, orientada para a região exterior à curva e seja
a região interior a
, ou seja
.
b) Mostre que se
é um campo vetorial de classe
, definido em
e seu interior, então:
que é um resultado conhecido como teorema da divergência.
b) Mostre que se
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva fechada e diferenciável chamada
no plano. Temos um vetor normal unitário
que aponta para fora da curva, e
é a região dentro dessa curva. O que precisamos mostrar é que, para um campo vetorial
que é suave (classe
) na curva e dentro dela, a integral de linha de
em relação ao vetor normal
é igual à integral dupla da divergência de
sobre a região
. Este resultado é conhecido como o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por
, mede o quanto o campo
está “espalhando” em cada ponto. Matematicamente, para
, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do teorema da divergência (também conhecido como teorema de Gauss). Esse teorema relaciona a integral de superfície (no nosso caso, a integral de linha já que estamos no plano) de um campo vetorial com a integral dupla da divergência desse campo sobre a região limitada pela superfície.
No nosso contexto, a “superfície” é a curva fechada
, e a “região limitada” é
.
Passo 4
A integral de linha
representa o fluxo do campo vetorial
atravessando a curva
. Ou seja, é uma medida de quanto do campo está passando para fora da região
.
Segundo o teorema da divergência, esse fluxo é igual à integral dupla da divergência do campo sobre a região
:
Passo 5
Substituindo a expressão da divergência que vimos no Passo 2, temos:
Isso confirma o que queríamos mostrar: que o fluxo do campo vetorial através da curva é igual à integral dupla da divergência desse campo sobre a região interna.
Resposta
Assim, demonstramos que:
Esse é o teorema da divergência aplicado ao campo vetorial
na região
.
Exercícios relacionados
Calcule
a) sendo a elipse
, percorrida no sentido antihorário.
a)
Calcule
, onde
para
b) cuja imagem é a circunferência
b)
Resolva os edos seguintes (4 ponto):
Resolva os edos seguintes (4 ponto):