Seja o vetor unitário normal à curva fechada simples diferenciável cada ponto, orientada para a região exterior à curva e seja a região interior a , ou seja .
b) Mostre que se é um campo vetorial de classe , definido em e seu interior, então:
que é um resultado conhecido como teorema da divergência.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva fechada e diferenciável chamada no plano. Temos um vetor normal unitário que aponta para fora da curva, e é a região dentro dessa curva. O que precisamos mostrar é que, para um campo vetorial que é suave (classe ) na curva e dentro dela, a integral de linha de em relação ao vetor normal é igual à integral dupla da divergência de sobre a região . Este resultado é conhecido como o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por , mede o quanto o campo está “espalhando” em cada ponto. Matematicamente, para , temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do teorema da divergência (também conhecido como teorema de Gauss). Esse teorema relaciona a integral de superfície (no nosso caso, a integral de linha já que estamos no plano) de um campo vetorial com a integral dupla da divergência desse campo sobre a região limitada pela superfície.
No nosso contexto, a “superfície” é a curva fechada , e a “região limitada” é .

Passo 4

A integral de linha representa o fluxo do campo vetorial atravessando a curva . Ou seja, é uma medida de quanto do campo está passando para fora da região .
Segundo o teorema da divergência, esse fluxo é igual à integral dupla da divergência do campo sobre a região :

Passo 5

Substituindo a expressão da divergência que vimos no Passo 2, temos:
Isso confirma o que queríamos mostrar: que o fluxo do campo vetorial através da curva é igual à integral dupla da divergência desse campo sobre a região interna.

Resposta

Assim, demonstramos que:
Esse é o teorema da divergência aplicado ao campo vetorial na região .

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Calcule
a) sendo a elipse , percorrida no sentido antihorário.
Calcule , onde
para
b) cuja imagem é a circunferência
Resolva os edos seguintes (4 ponto):
Resolva os edos seguintes (4 ponto):