Seja n o vetor unitário normal à curva fechada simples diferenciável gamma(t)=(x(t), y(t)) em cada ponto, orientada para a região exterior à curva e seja D a região interior a gamma, ou seja partial D=Im gamma.
b) Mostre que se F=P i+Q j é um campo vetorial de classe mathscrC^1, definido em gamma e seu interior, então:
integralgamma F cdot n d l=integral duplaD div F d x d y=integral duplaD(partial Ppartial x+partial Qpartial y) d x d y
que é um resultado conhecido como teorema da divergência.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva fechada e diferenciável chamada gamma(t) = (x(t), y(t)) no plano. Temos um vetor normal unitário n que aponta para fora da curva, e D é a região dentro dessa curva. O que precisamos mostrar é que, para um campo vetorial F = P i + Q j que é suave (classe mathscrC^1) na curva e dentro dela, a integral de linha de F em relação ao vetor normal n é igual à integral dupla da divergência de F sobre a região D. Este resultado é conhecido como o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por div F, mede o quanto o campo F está “espalhando” em cada ponto. Matematicamente, para F = P i + Q j, temos:
div F = partial Ppartial x + partial Qpartial y

Passo 3

Agora, vamos lembrar do teorema da divergência (também conhecido como teorema de Gauss). Esse teorema relaciona a integral de superfície (no nosso caso, a integral de linha já que estamos no plano) de um campo vetorial com a integral dupla da divergência desse campo sobre a região limitada pela superfície.
No nosso contexto, a “superfície” é a curva fechada gamma, e a “região limitada” é D.

Passo 4

A integral de linha integralgamma F cdot n d l representa o fluxo do campo vetorial F atravessando a curva gamma. Ou seja, é uma medida de quanto do campo está passando para fora da região D.
Segundo o teorema da divergência, esse fluxo é igual à integral dupla da divergência do campo sobre a região D:
integralgamma F cdot n d l = integral duplaD div F d x d y

Passo 5

Substituindo a expressão da divergência que vimos no Passo 2, temos:
integral duplaD div F d x d y = integral duplaD ( partial Ppartial x + partial Qpartial y ) d x d y
Isso confirma o que queríamos mostrar: que o fluxo do campo vetorial através da curva é igual à integral dupla da divergência desse campo sobre a região interna.

Resposta

Assim, demonstramos que:
integralgamma F cdot n d l = integral duplaD div F d x d y = integral duplaD(partial Ppartial x+partial Qpartial y) d x d y
Esse é o teorema da divergência aplicado ao campo vetorial F na região D.

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