Calcule
em cada um dos casos a seguir:
, onde
é o segmento de reta de
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
onde e
. A curva
é um segmento de reta que vai do ponto
até
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma reta e como calcular integrais de linha usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta
. Uma maneira simples de fazer isso é expressar
e
em função de um parâmetro
, que varia de 0 a 1. Vamos definir:
Aqui, quando
, temos o ponto inicial
, e quando
, chegamos ao ponto final
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
em termos de
. Diferenciando
e
em relação a
, temos:
Passo 4
Substituímos os valores de
,
,
e
na integral original:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Usando identidades trigonométricas:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Para a primeira parte, usamos integração por partes, onde:
-
então -
então
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
A segunda integral é:
Agora, avaliando de 0 a 1:
Então, a primeira parte da integral fica:
Para a segunda integral original:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral é aproximadamente 1,2313.
Exercícios relacionados
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados:
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(b)
(b)
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(a)
(a)