Calcule integralgamma L d x+M d y em cada um dos casos a seguir:
L(x, y)=y sen x, Q(x, y)=-cos x, onde gamma é o segmento de reta de (pi / 2,0) a (pi, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralgamma L dx + M dy onde e L(x, y) = y sen x. A curva M(x, y) = -cos x é um segmento de reta que vai do ponto gamma até (pi/2, 0). Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma reta e como calcular integrais de linha usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta gamma. Uma maneira simples de fazer isso é expressar x e y em função de um parâmetro t, que varia de 0 a 1. Vamos definir:
x(t) = pi2 + (pi - pi2)t = pi2(1 + t)
y(t) = 0 + (1 - 0)t = t
Aqui, quando t = 0, temos o ponto inicial (pi/2, 0), e quando t = 1, chegamos ao ponto final (pi, 1).

Passo 3

Agora, precisamos calcular dx e dy em termos de t. Diferenciando x(t) e y(t) em relação a t, temos:
dx = dxdt dt = pi2 dt
dy = dydt dt = 1 cdot dt = dt

Passo 4

Substituímos os valores de x(t), y(t), dx e dy na integral original:
Substituindo integralgamma L dx + M dy = integral0^1 [ y(t) sen(x(t)) cdot dx + M(x(t), y(t)) cdot dy ] e L:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Usando identidades trigonométricas:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Para a primeira parte, usamos integração por partes, onde:
  • integral0^1 pi2 t cos(pi2t) dt + integral0^1 sen(pi2t) dt então u = t
  • du = dt então
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
A segunda integral é:
dv = cos(pi2t) dt
Agora, avaliando de 0 a 1:
Então, a primeira parte da integral fica:
v = 2pi sen(pi2t)
Para a segunda integral original:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
1 - 4pi^2 + 2pi approx 1 - 0,4053 + 0,6366 approx 1,2313
Portanto, o valor da integral é aproximadamente 1,2313.

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