Calcule em cada um dos casos a seguir:
, onde é o segmento de reta de a

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha onde e . A curva é um segmento de reta que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma reta e como calcular integrais de linha usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta . Uma maneira simples de fazer isso é expressar e em função de um parâmetro , que varia de 0 a 1. Vamos definir:
Aqui, quando , temos o ponto inicial , e quando , chegamos ao ponto final .

Passo 3

Agora, precisamos calcular e em termos de . Diferenciando e em relação a , temos:

Passo 4

Substituímos os valores de , , e na integral original:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Usando identidades trigonométricas:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Para a primeira parte, usamos integração por partes, onde:
  • então
  • então
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
A segunda integral é:
Agora, avaliando de 0 a 1:
Então, a primeira parte da integral fica:
Para a segunda integral original:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral é aproximadamente 1,2313.

Exercícios relacionados

Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados:
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(b)
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(a)