Calcule integralgamma y^2 d x+x^2 d y, onde gamma é a curva representada pelo círculo x^2+y^2=4 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de linha , onde é o círculo percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a área interna dessa curva. Isso é super útil porque, às vezes, é mais fácil calcular a área do que seguir a curva.

Passo 3

Vamos identificar as funções e na nossa integral. Na expressão , temos:

Passo 4

Agora, segundo o Teorema de Green, a integral de linha pode ser convertida na seguinte integral dupla:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Vamos calcular as derivadas parciais:
  • 2x - 2y
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla integral duplaD (2x - 2y) dA = 0 , onde é a região dentro do círculo .
Por simetria, ao integrar e sobre um círculo centrado na origem, ambos os termos vão se cancelar porque para cada ponto , existe um ponto que anula a contribuição.
Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

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