Verifique se a série sumn=1^infty(-1)^n(n!n^n) satisfaz ou não as condições do Teste de Leibniz. É possível afirmar que a série converge?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a série alternada:
sumn=1^infty(-1)^n(n!n^n)
O objetivo é verificar se essa série satisfaz as condições do Teste de Leibniz e, consequentemente, se ela converge. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série alternada e quais são as condições do Teste de Leibniz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série alternada. É uma série em que os termos mudam de sinal alternadamente, ou seja, positivos e negativos. No nosso caso, o fator (-1)^n faz exatamente isso.
Agora, o Teste de Leibniz estabelece que uma série alternada da forma sumn=1^infty (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n tende ao infinito.
  2. O limite dos termos an quando n tende ao infinito é zero:
limn to infty an = 0

Passo 3

Vamos aplicar essas condições à nossa série. Primeiro, identificamos an:
an = n!n^n
Precisamos verificar se:
  1. an é positivo, decrescente e tende a zero.
  2. limn to infty an = 0

Passo 4

Vamos verificar se an é positivo e decrescente. Como n! e n^n são positivos para todo n >= 1, an também é positivo.
Para ver se an é decrescente, comparamos an+1 com an:
Comparando com an+1 = (n+1)!(n+1)^n+1 = (n+1) cdot n!(n+1)^n cdot (n+1) = n!(n+1)^n , vemos que an = n!n^n para todo (n+1)^n > n^n, então n >= 1. Portanto, an+1 < an é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty n!n^n
Para isso, usamos o Estimativa de Stirling, que nos diz que para grandes valores de n:
n! approx n^n e^-n raiz2pi n
Então,
limn to infty n!n^n approx limn to infty n^n e^-n raiz2pi nn^n = limn to infty e^-n raiz2pi n = 0
Portanto, limn to infty an = 0.

Resposta

Como todas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas (os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero), podemos afirmar que a série
sumn=1^infty(-1)^n(n!n^n)
converge.

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