Verifique se a série
satisfaz ou não as condições do Teste de Leibniz. É possível afirmar que a série converge?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a série alternada:
O objetivo é verificar se essa série satisfaz as condições do Teste de Leibniz e, consequentemente, se ela converge. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série alternada e quais são as condições do Teste de Leibniz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série alternada. É uma série em que os termos mudam de sinal alternadamente, ou seja, positivos e negativos. No nosso caso, o fator
faz exatamente isso.
Agora, o Teste de Leibniz estabelece que uma série alternada da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero quando tende ao infinito. - O limite dos termos
quando tende ao infinito é zero:
Passo 3
Vamos aplicar essas condições à nossa série. Primeiro, identificamos
:
Precisamos verificar se:
-
é positivo, decrescente e tende a zero. -
Passo 4
Vamos verificar se
é positivo e decrescente. Como
e
são positivos para todo
,
também é positivo.
Para ver se
é decrescente, comparamos
com
:
Comparando com
, vemos que
para todo
, então
. Portanto,
é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Para isso, usamos o Estimativa de Stirling, que nos diz que para grandes valores de
:
Então,
Portanto,
.
Resposta
Como todas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas (os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero), podemos afirmar que a série
converge.
Exercícios relacionados
Encontre uma fórmula para a menor distância
entre duas retas reversas
e
. (Obs.: Duas retas são chamadas de reversas se não são paralelas nem se interceptam.)
Calcule
, onde
é a curva representada pelo círculo
orientado no sentido anti-horário.
Esboce e calcule a área da regiāo delimitada pelas curvas
e
.
Determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.