Encontre uma fórmula para a menor distância d entre duas retas reversas l1 e l2. (Obs.: Duas retas são chamadas de reversas se não são paralelas nem se interceptam.)

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar uma fórmula para a menor distância entre duas retas reversas e . Retas reversas são aquelas que não são paralelas nem se interceptam, ou seja, estão em planos diferentes no espaço. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente envolvendo vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as equações paramétricas das duas retas. Suponha que a reta seja representada por:
e a reta por:
Onde e são parâmetros, e e são os vetores diretores das retas e , respectivamente.

Passo 3

Agora, a menor distância entre as duas retas é o comprimento do segmento de reta perpendicular a ambas as retas. Para encontrar essa distância, precisamos de um vetor que seja perpendicular aos vetores diretores e . Esse vetor perpendicular é dado pelo produto vetorial .

Passo 4

Calculemos o produto vetorial :
Esse vetor é perpendicular a ambas as retas e será usado para calcular a distância.

Passo 5

Agora, escolha um ponto em cada reta. Vamos pegar em e em . O vetor entre esses dois pontos é:

Passo 6

A menor distância entre as retas é projetada no vetor . Para encontrá-la, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde é o produto escalar entre os vetores, e é o módulo do vetor .

Passo 7

Substituindo os valores, a fórmula final para a menor distância entre as retas reversas e fica:

Resposta

A menor distância entre as retas reversas e é dada por:

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