Sejam
a normal unitária exterior ao conjunto
e
a superfície de
. Se
é um campo vetorial de classe
, mostre que
, usando: o Teorema de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial
sobre a superfície
da bola
é igual a zero. Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o rotacional, o campo vetorial, e como aplicar o Teorema de Gauss nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência do campo vetorial
de girar ao redor de um ponto. É uma ferramenta importante em fisica e engenharia para analisar movimentos de fluidos e campos magnéticos, por exemplo.
Passo 3
Agora, o Teorema de Gauss nos diz que a integral da divergência de um campo vetorial sobre um volume
é igual à integral do fluxo desse campo através da superfície que delimita
. Em fórmulas, isso é escrito como:
Onde
é a divergência de
, e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
No nosso caso, queremos a integral da superfície do rotacional de
, ou seja:
Para aplicar o Teorema de Gauss aqui, precisamos relacionar o rotacional com a divergência. Sabemos que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Matematicamente:
Passo 5
Aplicando o Teorema de Gauss, temos:
Como vimos,
, então:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Calcule
, onde
, e
,
Sejam
a normal unitária exterior ao conjunto
e
a superfície de
. Se
é um campo vetorial de classe
, mostre que
, usando: o Teorema de Stokes.
Boa prova.
Boa prova.
Mostre que tal grandeza pode ser descrita por uma função exponencial
onde a constante positiva
mede o valor inicial presente
e
é uma constante positiva apropriada, chamada constante de decaimento.