Sejam n a normal unitária exterior ao conjunto B=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2+z^2 <= R^2 e S a superfície de B. Se F é um campo vetorial de classe C^2 em B, mostre que integral duplaS rot F cdot n d S=0, usando: o Teorema de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre a superfície S da bola B é igual a zero. Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o rotacional, o campo vetorial, e como aplicar o Teorema de Gauss nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por rot F ou nabla times F, mede a tendência do campo vetorial F de girar ao redor de um ponto. É uma ferramenta importante em fisica e engenharia para analisar movimentos de fluidos e campos magnéticos, por exemplo.

Passo 3

Agora, o Teorema de Gauss nos diz que a integral da divergência de um campo vetorial sobre um volume V é igual à integral do fluxo desse campo através da superfície que delimita V. Em fórmulas, isso é escrito como:
integral triplaV div F , dV = integral duplaS F cdot n , dS
Onde div F é a divergência de F, e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 4

No nosso caso, queremos a integral da superfície do rotacional de F, ou seja:
integral duplaS rot F cdot n , dS
Para aplicar o Teorema de Gauss aqui, precisamos relacionar o rotacional com a divergência. Sabemos que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Matematicamente:
div (rot F) = 0

Passo 5

Aplicando o Teorema de Gauss, temos:
integral duplaS rot F cdot n , dS = integral triplaB div (rot F) , dV
Como vimos, div (rot F) = 0, então:
integral triplaB 0 , dV = 0

Resposta

Portanto, integral duplaS rot F cdot n , dS = 0.

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