Sejam a normal unitária exterior ao conjunto e a superfície de . Se é um campo vetorial de classe , mostre que , usando: o Teorema de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial sobre a superfície da bola é igual a zero. Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são o rotacional, o campo vetorial, e como aplicar o Teorema de Gauss nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência do campo vetorial de girar ao redor de um ponto. É uma ferramenta importante em fisica e engenharia para analisar movimentos de fluidos e campos magnéticos, por exemplo.

Passo 3

Agora, o Teorema de Gauss nos diz que a integral da divergência de um campo vetorial sobre um volume é igual à integral do fluxo desse campo através da superfície que delimita . Em fórmulas, isso é escrito como:
Onde é a divergência de , e é o vetor normal à superfície .

Passo 4

No nosso caso, queremos a integral da superfície do rotacional de , ou seja:
Para aplicar o Teorema de Gauss aqui, precisamos relacionar o rotacional com a divergência. Sabemos que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Matematicamente:

Passo 5

Aplicando o Teorema de Gauss, temos:
Como vimos, , então:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Calcule , onde , e ,
Sejam a normal unitária exterior ao conjunto e a superfície de . Se é um campo vetorial de classe , mostre que , usando: o Teorema de Stokes.
Boa prova.
Mostre que tal grandeza pode ser descrita por uma função exponencial
onde a constante positiva mede o valor inicial presente e é uma constante positiva apropriada, chamada constante de decaimento.