Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma integral bem complicada: . O conteúdo aqui é de Cálculo Integral, especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão polinomial para simplificar a fração e depois integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial entre o numerador e o denominador . A ideia é dividir o polinômio de grau maior pelo de grau menor até obter um polinômio e um resto que tenha grau menor que o denominador.
Vamos dividir passo a passo:
  1. Dividendo:
  2. Divisor:
  3. Primeiro termo da divisão: Para eliminar , multiplicamos o divisor por :
  4. Subtraímos isso do dividendo:
  5. Próximo termo da divisão: Agora, para eliminar , multiplicamos o divisor por :
  6. Subtraímos novamente:
Então, a divisão fica:

Passo 3

Agora que simplificamos a fração, podemos reescrever a integral assim:
Isso facilita bastante, porque agora temos uma soma de funções mais simples para integrar.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de :
    Aqui usamos a regra básica da potência: .
  2. Integral de :
    A integral de uma constante é a constante vezes .
  3. Integral de :
    Primeiro, vamos fatorar o denominador:
    Agora, usamos frações parciais para decompor a fração:
    Encontrando e :
    Escolhendo :
    Escolhendo :
    Então:
    Agora, integremos:

Passo 5

Juntando tudo, a integral completa fica:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , onde , e ,
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Sejam a normal unitária exterior ao conjunto e a superfície de . Se é um campo vetorial de classe , mostre que , usando: o Teorema de Gauss.
Sejam a normal unitária exterior ao conjunto e a superfície de . Se é um campo vetorial de classe , mostre que , usando: o Teorema de Stokes.
Boa prova.