Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma integral bem complicada: . O conteúdo aqui é de Cálculo Integral, especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão polinomial para simplificar a fração e depois integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial entre o numerador e o denominador . A ideia é dividir o polinômio de grau maior pelo de grau menor até obter um polinômio e um resto que tenha grau menor que o denominador.
Vamos dividir passo a passo:
Dividendo:
Divisor:
Primeiro termo da divisão: Para eliminar , multiplicamos o divisor por :
Subtraímos isso do dividendo:
Próximo termo da divisão: Agora, para eliminar , multiplicamos o divisor por :
Subtraímos novamente:
Então, a divisão fica:
Passo 3
Agora que simplificamos a fração, podemos reescrever a integral assim:
Isso facilita bastante, porque agora temos uma soma de funções mais simples para integrar.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
Integral de :
Aqui usamos a regra básica da potência: .
Integral de :
A integral de uma constante é a constante vezes .
Integral de :
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Agora, usamos frações parciais para decompor a fração: