Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria: integral 3 x^4+3 x^3-5 x^2+x-1x^2+x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma integral bem complicada: . O conteúdo aqui é de Cálculo Integral, especificamente de integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão polinomial para simplificar a fração e depois integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial entre o numerador 3x^2 times (x^2 + x - 2) = 3x^4 + 3x^3 - 6x^2 e o denominador (3x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 1) - (3x^4 + 3x^3 - 6x^2) = x^2 + x - 1 . A ideia é dividir o polinômio de grau maior pelo de grau menor até obter um polinômio e um resto que tenha grau menor que o denominador.
Vamos dividir passo a passo:
  1. Dividendo: 1 times (x^2 + x - 2) = x^2 + x - 2
  2. Divisor: (x^2 + x - 1) - (x^2 + x - 2) = 1
  3. Primeiro termo da divisão: Para eliminar 3x^4+3x^3-5x^2+x-1x^2+x-2 = 3x^2 + 1 + 1x^2+x-2 , multiplicamos o divisor por :
  4. Subtraímos isso do dividendo:
  5. Próximo termo da divisão: Agora, para eliminar , multiplicamos o divisor por :
  6. Subtraímos novamente:
Então, a divisão fica:

Passo 3

Agora que simplificamos a fração, podemos reescrever a integral assim:
integral 3x^4+3x^3-5x^2+x-1x^2+x-2 , dx = integral (3x^2 + 1 + 1x^2+x-2) dx
Isso facilita bastante, porque agora temos uma soma de funções mais simples para integrar.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de integral 3x^2 , dx = 3 times x^33 = x^3 :
    integral 1 , dx = x
    Aqui usamos a regra básica da potência: x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) .
  2. Integral de 1(x + 2)(x - 1) = Ax + 2 + Bx - 1 :
    1 = A(x - 1) + B(x + 2)
    A integral de uma constante é a constante vezes 1 = A(0) + B(3) Rightarrow B = 13 .
  3. Integral de 1 = A(-3) + B(0) Rightarrow A = -13 :
    Primeiro, vamos fatorar o denominador:
    1x^2+x-2 = -13cdot1x + 2 + 13cdot1x - 1
    Agora, usamos frações parciais para decompor a fração:
    integral 1x^2+x-2 , dx = -13 integral 1x + 2 , dx + 13 integral 1x - 1 , dx
    Encontrando = -13 ln|x + 2| + 13 ln|x - 1| + C e = 13 ln|x - 1x + 2| + C :
    Escolhendo :
    Escolhendo :
    Então:
    Agora, integremos:

Passo 5

Juntando tudo, a integral completa fica:
integral 3x^4+3x^3-5x^2+x-1x^2+x-2 , dx = x^3 + x + 13 ln|x - 1x + 2| + C

Resposta

A integral é igual a .

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