Dada a função f(x, y)=x raiz9-y+x^2 : Calcule partial fpartial x e partial fpartial y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa calcular as derivadas parciais e . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A derivada parcial em relação a significa que vamos derivar a função considerando como uma constante. Nossa função é um produto de e , então vamos usar a regra do produto, que diz que se temos , a derivada é .

Passo 3

Vamos identificar v' = 12(9 - y + x^2)^-1/2 cdot (2x) = xraiz9 - y + x^2 e :
Agora, vamos derivar cada parte:
  • Para , usamos a regra da cadeia. Se , então:

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial x = u' cdot v + u cdot v' = 1 cdot raiz9 - y + x^2 + x cdot xraiz9 - y + x^2
Simplificando:
partial fpartial x = raiz9 - y + x^2 + x^2raiz9 - y + x^2
Podemos juntar os termos:
partial fpartial x = 9 - y + x^2 + x^2raiz9 - y + x^2 = 9 - y + 2x^2raiz9 - y + x^2

Passo 5

Agora, vamos calcular . Aqui, derivamos a função em relação a , considerando como constante. Nossa função é .

Passo 6

Usamos a regra da cadeia para derivar em relação a partial fpartial y = x cdot 12(9 - y + x^2)^-1/2 cdot (-1) = -x2raiz9 - y + x^2 :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 9 - y + 2x^2raiz9 - y + x^2
e
partial fpartial y = -x2raiz9 - y + x^2

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