Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. e)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício: temos que verificar se a integral
converge ou diverge. Se ela for convergente, precisamos calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e analisar o comportamento da função quando
vai para infinito positivo e negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se o seu valor chega a um número finito quando os limites de integração vão para mais ou menos infinito. Caso contrário, dizemos que a integral é divergente.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Essa é uma função polinomial. Sabemos que, para polinômios, o comportamento quando
tende ao infinito é dominado pelo termo de maior grau. No nosso caso, o termo de maior grau é
.
Passo 4
Então, vamos analisar o que acontece com
quando
vai para
e
:
- Quando
, . - Quando
, .
Isso significa que a função
cresce sem limite quando
vai para os dois extremidades.
Passo 5
Para verificar a convergência da integral, precisamos calcular:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 6
Calculando a integral de
:
Agora, aplicamos os limites:
E para o outro lado:
Passo 7
Observamos que tanto
quanto
tendem a infinito à medida que
e
tendem a
e
, respectivamente. Isso significa que as integrais separadas não somam a um valor finito.
Resposta
A integral é divergente.
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Um tanque de água possui o formato de um cone circular invertido com altura de 10 m e raio da base de 4 m . Ele está cheio de água até uma altura de 8 m . Encontre o trabalho necessário para esvaziar o reservatório bombeando toda a água pela parte superior do tanque. (A densidade da água é
.)
Calcule:
, sendo
a intersecção das superfícies
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. a)
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. b)