Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. e) integral-infty^infty(x^3-3 x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício: temos que verificar se a integral converge ou diverge. Se ela for convergente, precisamos calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e analisar o comportamento da função quando vai para infinito positivo e negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se o seu valor chega a um número finito quando os limites de integração vão para mais ou menos infinito. Caso contrário, dizemos que a integral é divergente.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Essa é uma função polinomial. Sabemos que, para polinômios, o comportamento quando tende ao infinito é dominado pelo termo de maior grau. No nosso caso, o termo de maior grau é .

Passo 4

Então, vamos analisar o que acontece com quando vai para e :
  • Quando , .
  • Quando , .
Isso significa que a função cresce sem limite quando vai para os dois extremidades.

Passo 5

Para verificar a convergência da integral, precisamos calcular:
integral-infty^infty(x^3-3 x^2) dx = limA to -infty integralA^0(x^3-3 x^2) dx + limB to +infty integral0^B(x^3-3 x^2) dx
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 6

Calculando a integral de integral (x^3 - 3x^2) dx = x^44 - x^3 + C :
limA to -infty (0^44 - 0^3) - (A^44 - A^3) = limA to -infty (-A^44 + A^3)
Agora, aplicamos os limites:
limB to +infty (B^44 - B^3) - (0^44 - 0^3) = limB to +infty (B^44 - B^3)
E para o outro lado:

Passo 7

Observamos que tanto quanto tendem a infinito à medida que e tendem a e , respectivamente. Isso significa que as integrais separadas não somam a um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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