Calcule
, onde
é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a curva
é parametrizada por
e
, com
variando de
a
. Aqui, o conteúdo envolve Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de arco
e substituir as variáveis na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. Ela está definida por:
onde
varia de
a
. Isso descreve um círculo unitário no plano
, já que
para todo
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
, ou seja,
e
. Essas derivadas são importantes para calcular o diferencial de arco
.
Passo 4
Com as derivadas em mãos, calculamos o diferencial de arco
. A fórmula para
em termos de
é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na função que está dentro da integral:
Passo 6
Montamos a integral agora em termos de
:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando isso, temos:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
O valor da integral é
.
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.
Determine se
é contínua em
.
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.
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.