Calcule integralgamma(x^2+2 y^2) d s, onde gamma é dada por x=cos t, y=s e n t, com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma(x^2+2 y^2) d s, onde a curva gamma é parametrizada por x = cos t e y = sin t, com t variando de 0 a 2pi. Aqui, o conteúdo envolve Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de arco ds e substituir as variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva gamma. Ela está definida por:
x = cos t
y = sin t
onde t varia de 0 a 2pi. Isso descreve um círculo unitário no plano xy, já que cos^2 t + sin^2 t = 1 para todo t.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t, ou seja, dx/dt e dy/dt. Essas derivadas são importantes para calcular o diferencial de arco ds.
dxdt = -sin t
dydt = cos t

Passo 4

Com as derivadas em mãos, calculamos o diferencial de arco ds. A fórmula para ds em termos de t é:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Substituindo as derivadas que encontramos:
ds = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 , dt = raizsin^2 t + cos^2 t , dt = raiz1 , dt = dt
Então, ds = dt.

Passo 5

Agora, vamos substituir x e y na função que está dentro da integral:
x^2 + 2y^2 = (cos t)^2 + 2(sin t)^2 = cos^2 t + 2sin^2 t

Passo 6

Montamos a integral agora em termos de t:
integralgamma(x^2+2 y^2) d s = integral0^2pi (cos^2 t + 2sin^2 t) dt
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
cos^2 t + 2sin^2 t = cos^2 t + sin^2 t + sin^2 t = 1 + sin^2 t
Então, a integral fica:
integral0^2pi (1 + sin^2 t) dt
Sabemos que:
integral sin^2 t , dt = t2 - sin 2t4 + C
Aplicando isso, temos:
integral0^2pi 1 , dt + integral0^2pi sin^2 t , dt = [ t ]0^2pi + [ t2 - sin 2t4 ]0^2pi
Calculando cada parte:
[ t ]0^2pi = 2pi - 0 = 2pi
[ t2 - sin 2t4 ]0^2pi = ( 2pi2 - sin 4pi4 ) - ( 0 - sin 04 ) = pi - 0 = pi
Somando tudo:
2pi + pi = 3pi

Resposta

O valor da integral é 3pi.

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