Calcule , onde é dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a curva é parametrizada por e , com variando de a . Aqui, o conteúdo envolve Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de arco e substituir as variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . Ela está definida por:
onde varia de a . Isso descreve um círculo unitário no plano , já que para todo .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a , ou seja, e . Essas derivadas são importantes para calcular o diferencial de arco .

Passo 4

Com as derivadas em mãos, calculamos o diferencial de arco . A fórmula para em termos de é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir e na função que está dentro da integral:

Passo 6

Montamos a integral agora em termos de :
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Sabemos que:
Aplicando isso, temos:
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Resposta

O valor da integral é .

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