Determine se
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a função vetorial
é contínua quando
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis nesse ponto. Como estamos lidando com uma função vetorial, vamos analisar cada componente dela separadamente para ver se todas são contínuas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente:
. Essa é uma função polinomial. Você lembra que polinômios são legais porque são contínuos em todos os pontos do seu domínio, que no caso dos polinômios é todo o conjunto dos números reais. Então, já sabemos que
é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. Aqui estamos lidando com a função logaritmo natural,
, que é contínua para todos os valores de
maiores que zero. No nosso caso, quando
, temos
, que é maior que zero. Então,
está bem definida e contínua em
.
Passo 4
Por último, temos a terceira componente:
. A função seno,
, é contínua para qualquer número real
. Além disso,
é outra função polinomial, que também é contínua. Como a composição de funções contínuas é contínua,
também é contínua em
.
Resposta
Como todas as componentes de
—
,
e
— são contínuas em
, podemos concluir que a função vetorial
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Determine a continuidade da função
.
O teorema fundamental para divergentes (teorema de Gauss, teorema de Green) nos diz que:
Teste este teorema para a função
. Use como volume o cubo com lados de comprimento 2.
Calcule as derivadas das funções abaixo
.
Calcule
, onde
é dada por
.