Determine se é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a função vetorial é contínua quando . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis nesse ponto. Como estamos lidando com uma função vetorial, vamos analisar cada componente dela separadamente para ver se todas são contínuas em .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: . Essa é uma função polinomial. Você lembra que polinômios são legais porque são contínuos em todos os pontos do seu domínio, que no caso dos polinômios é todo o conjunto dos números reais. Então, já sabemos que é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . Aqui estamos lidando com a função logaritmo natural, , que é contínua para todos os valores de maiores que zero. No nosso caso, quando , temos , que é maior que zero. Então, está bem definida e contínua em .

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: . A função seno, , é contínua para qualquer número real . Além disso, é outra função polinomial, que também é contínua. Como a composição de funções contínuas é contínua, também é contínua em .

Resposta

Como todas as componentes de , e — são contínuas em , podemos concluir que a função vetorial é contínua em .

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Determine a continuidade da função .
O teorema fundamental para divergentes (teorema de Gauss, teorema de Green) nos diz que:
Teste este teorema para a função . Use como volume o cubo com lados de comprimento 2.
Calcule as derivadas das funções abaixo .
Calcule , onde é dada por .