Considere a função varphi(x, y)=integral0^x e^-y t^2 d t. Calcule partial varphipartial x e partial varphipartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e a . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente como derivar integrais que variam com as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular ddx integrala^b(x) f(t, x) , dt = f(b(x), x) cdot dbdx + integrala^b(x) partial fpartial x , dt , ou seja, a derivada de partial varphipartial x = e^-y x^2 cdot ddx(x) = e^-y x^2 cdot 1 = e^-y x^2 em relação a . Para isso, usamos a Regra de Leibniz para derivadas de integrais. Essa regra nos diz que, se temos uma integral onde o limite superior é uma função de e o integrando também depende de , então a derivada é:
No nosso caso, a integral é , então , e . Note que não depende de diretamente, apenas de e .
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos calcular partialpartial y integrala^b f(t, y) , dt = integrala^b partial fpartial y , dt , a derivada de partial varphipartial y = integral0^x partialpartial y ( e^-y t^2 ) , dt em relação a partialpartial y ( e^-y t^2 ) = -t^2 e^-y t^2 . Aqui, a variável partial varphipartial y = integral0^x -t^2 e^-y t^2 , dt = -integral0^x t^2 e^-y t^2 , dt está dentro do integrando, então usamos a derivada sob o sinal de integral. A fórmula para isso é:
Aplicando isso à nossa função:
Calculando a derivada dentro do integrando:
Então, a integral fica:

Resposta

As derivadas parciais da função partial varphipartial x = e^-y x^2 são:
partial varphipartial y = -integral0^x t^2 e^-y t^2 , dt

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