Considere a função
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente como derivar integrais que variam com as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, ou seja, a derivada de
em relação a
. Para isso, usamos a Regra de Leibniz para derivadas de integrais. Essa regra nos diz que, se temos uma integral onde o limite superior é uma função de
e o integrando também depende de
, então a derivada é:
No nosso caso, a integral é
, então
,
e
. Note que
não depende de
diretamente, apenas de
e
.
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, a derivada de
em relação a
. Aqui, a variável
está dentro do integrando, então usamos a derivada sob o sinal de integral. A fórmula para isso é:
Aplicando isso à nossa função:
Calculando a derivada dentro do integrando:
Então, a integral fica:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule o limite
para
.
Calcule
, onde
.
O teorema fundamental para divergentes (teorema de Gauss, teorema de Green) nos diz que:
Teste este teorema para a função
. Use como volume o cubo com lados de comprimento 2.
Determine a continuidade da função
.