Considere a função . Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e a . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente como derivar integrais que variam com as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , ou seja, a derivada de em relação a . Para isso, usamos a Regra de Leibniz para derivadas de integrais. Essa regra nos diz que, se temos uma integral onde o limite superior é uma função de e o integrando também depende de , então a derivada é:
No nosso caso, a integral é , então , e . Note que não depende de diretamente, apenas de e .
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos calcular , a derivada de em relação a . Aqui, a variável está dentro do integrando, então usamos a derivada sob o sinal de integral. A fórmula para isso é:
Aplicando isso à nossa função:
Calculando a derivada dentro do integrando:
Então, a integral fica:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

Exercícios relacionados

Calcule o limite para .
Calcule , onde .
O teorema fundamental para divergentes (teorema de Gauss, teorema de Green) nos diz que:
Teste este teorema para a função . Use como volume o cubo com lados de comprimento 2.
Determine a continuidade da função .