Uma partícula segue a trajetória
até que se desliga seguindo pela tangente à curva em
. Qual é sua posição em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre uma partícula que se move seguindo uma trajetória dada por
até o instante
. Depois disso, ela para de seguir essa trajetória e segue pela tangente à curva nesse ponto. Nosso objetivo é descobrir onde essa partícula estará em
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a tangente à curva, e equações de movimento retilíneo uniforme para determinar a posição após
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula no instante
. Substituímos
na função da trajetória:
Aqui,
é a base dos logaritmos naturais e
é o cosseno de 1 radiano.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a vetor tangente à curva no instante
. Para isso, calculamos a derivada da função posição
em relação a
:
Substituindo
na derivada:
Esse vetor nos dá a direção em que a partícula estará se movendo após se desligar da trajetória original.
Passo 4
Depois de
, a partícula segue em linha reta na direção da tangente encontrada. A equação da reta nessa direção é dada por:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 5
Agora, queremos saber a posição da partícula em
. Substituímos
na equação da reta:
Resposta
A posição da partícula em
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é uma curva cuja imagem é a poligonal az vértices
e
, orientada de
para
.
Considere
uma trajetória em
sua velocidade e
sua aceleração. Suponha que
é um campo vetorial,
e
(que é a segunda lei de Newton). Prove que
. O que se pode concluir se
é paralelo a
?
Traçar algumas linhas de fluxo do campo
.