Uma partícula segue a trajetória até que se desliga seguindo pela tangente à curva em . Qual é sua posição em ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre uma partícula que se move seguindo uma trajetória dada por até o instante . Depois disso, ela para de seguir essa trajetória e segue pela tangente à curva nesse ponto. Nosso objetivo é descobrir onde essa partícula estará em .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a tangente à curva, e equações de movimento retilíneo uniforme para determinar a posição após .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula no instante . Substituímos na função da trajetória:
Aqui, é a base dos logaritmos naturais e é o cosseno de 1 radiano.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a vetor tangente à curva no instante . Para isso, calculamos a derivada da função posição em relação a :
Substituindo na derivada:
Esse vetor nos dá a direção em que a partícula estará se movendo após se desligar da trajetória original.

Passo 4

Depois de , a partícula segue em linha reta na direção da tangente encontrada. A equação da reta nessa direção é dada por:
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 5

Agora, queremos saber a posição da partícula em . Substituímos na equação da reta:

Resposta

A posição da partícula em é .

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