Uma partícula segue a trajetória alpha(t) = (e^t, e^-t, cos(t)) até que se desliga seguindo pela tangente à curva em t = 1. Qual é sua posição em t = 2?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre uma partícula que se move seguindo uma trajetória dada por até o instante t = 1. Depois disso, ela para de seguir essa trajetória e segue pela tangente à curva nesse ponto. Nosso objetivo é descobrir onde essa partícula estará em t = 2.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a tangente à curva, e equações de movimento retilíneo uniforme para determinar a posição após t = 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula no instante t = 1. Substituímos t = 1 na função da trajetória:
Aqui, e é a base dos logaritmos naturais e cos(1) é o cosseno de 1 radiano.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a vetor tangente à curva no instante t = 1. Para isso, calculamos a derivada da função posição alpha(t) em relação a t:
Substituindo t = 1 na derivada:
Esse vetor nos dá a direção em que a partícula estará se movendo após se desligar da trajetória original.

Passo 4

Depois de t = 1, a partícula segue em linha reta na direção da tangente encontrada. A equação da reta nessa direção é dada por:
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 5

Agora, queremos saber a posição da partícula em t = 2. Substituímos t = 2 na equação da reta:

Resposta

A posição da partícula em t = 2 é .

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