Calcule integralgamma x d x+y d y+z d z, sendo gamma o segmento de retas de extremidades (0,0,0) e (1,2,1) percorrido no sentido de (0,0,0) para (1,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma x , dx + y , dy + z , dz. Aqui, gamma é o caminho que vai de (0,0,0) até (1,2,1) em linha reta. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais de linha em cálculo vetorial. Vamos precisar entender como parametrizar o caminho e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho gamma. Como é uma reta que vai de (0,0,0) até (1,2,1), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1. A parametrização fica assim:
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0 + t cdot 1,, 0 + t cdot 2,, 0 + t cdot 1) = (t,, 2t,, t)
Aqui, t=0 corresponde ao ponto (0,0,0) e t=1 ao ponto (1,2,1).

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x(t), y(t) e z(t) em relação a t:
dxdt = 1, dydt = 2, dzdt = 1
Essas derivadas nos ajudam a expressar dx, dy e dz em termos de dt:
dx = dxdt , dt = dt, dy = 2 , dt, dz = dt

Passo 4

Substituindo x(t), y(t), z(t), dx, dy e dz na integral original, ficamos com:
integralgamma x , dx + y , dy + z , dz = integral0^1 [t cdot dt + 2t cdot 2 , dt + t cdot dt] = integral0^1 (t + 4t + t) , dt = integral0^1 6t , dt

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 6t , dt = 6 integral0^1 t , dt = 6 [ t^22 ]0^1 = 6 ( 12 - 0 ) = 3

Resposta

O valor da integral é 3.

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