Calcule
, onde
é o arco de parábola
, seguido pelo segmento de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
. A curva
é composta por duas partes: primeiro, o arco da parábola
no intervalo de
de
a
, e depois, o segmento de reta que vai de
até
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em curvas, especificamente integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar cada parte da curva e calcular a integral em cada uma delas separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a primeira parte da curva, que é o arco da parábola
, com
variando de
a
. Como
é a variável independente, podemos usar
como parâmetro.
Então, temos:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
. Derivando as equações acima em relação a
:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral:
Passo 5
Simplificamos o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a integral fica:
Passo 6
Observamos que o numerador é derivada do denominador:
Note que
.
Então, podemos escrever a integral como:
Passo 7
Calculamos os limites da integral:
Para
:
Para
:
Então, a integral da primeira parte é:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral na segunda parte da curva, que é o segmento de reta de
a
. Podemos parametrizar essa reta de forma linear.
Vamos usar o parâmetro
variando de 0 a 1:
onde
vai de 0 a 1.
Passo 9
Calculamos
e
:
Passo 10
Substituímos na integral:
Passo 11
Simplificamos o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a integral fica:
Passo 12
Notamos que o numerador é a derivada do denominador:
E o numerador é
. Portanto:
Mas isso não simplifica diretamente para uma forma que permite integrar facilmente. Neste caso, podemos usar substituição:
Deixe
, então
.
No numerador, temos
.
Portanto:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 13
Finalmente, somamos as integrais das duas partes da curva:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Usando integral de linha, calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Calcule
sendo
a curva fechada do domínio limitado entre
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Considere a EDO não linear:
(b) Revise sua dedução do item anterior e veja que nela também podem-se obter como soluções
e
.
Note que não existe valores para a constante , em a) que conduzam às soluções mencionadas em b).
Note que não existe valores para a constante
Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(a)
(a)