Calcule integralgamma x d x+y d yx^2+y^2, onde gamma é o arco de parábola y=x^2-1,-1 <= x <= 2, seguido pelo segmento de (2,3) a (-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha . A curva é composta por duas partes: primeiro, o arco da parábola no intervalo de de a , e depois, o segmento de reta que vai de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em curvas, especificamente integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar cada parte da curva e calcular a integral em cada uma delas separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a primeira parte da curva, que é o arco da parábola x = t y = t^2 - 1 , com variando de a . Como é a variável independente, podemos usar como parâmetro.
Então, temos:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx = dt e dy = 2t , dt em termos de . Derivando as equações acima em relação a :

Passo 4

Substituímos integralgamma1 x dx + y dyx^2 + y^2 = integral-1^2 t cdot dt + (t^2 - 1) cdot 2t , dtt^2 + (t^2 - 1)^2 , , e na integral:

Passo 5

Simplificamos o numerador e o denominador:
Numerador:
t cdot dt + (t^2 - 1) cdot 2t , dt = (t + 2t(t^2 - 1)) , dt = (t + 2t^3 - 2t) , dt = (2t^3 - t) , dt
Denominador:
t^2 + (t^2 - 1)^2 = t^2 + t^4 - 2t^2 + 1 = t^4 - t^2 + 1
Então, a integral fica:
integral-1^2 2t^3 - tt^4 - t^2 + 1 , dt

Passo 6

Observamos que o numerador é derivada do denominador:
ddt(t^4 - t^2 + 1) = 4t^3 - 2t
Note que 12 integral-1^2 4t^3 - 2tt^4 - t^2 + 1 , dt = 12 ln|t^4 - t^2 + 1| g|-1^2 .
Então, podemos escrever a integral como:

Passo 7

Calculamos os limites da integral:
Para ln(2^4 - 2^2 + 1) = ln(16 - 4 + 1) = ln(13) :
ln((-1)^4 - (-1)^2 + 1) = ln(1 - 1 + 1) = ln(1) = 0
Para 12 (ln(13) - 0) = 12 ln(13) :
Então, a integral da primeira parte é:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral na segunda parte da curva, que é o segmento de reta de x = 2 - 3s y = 3 - 3s a . Podemos parametrizar essa reta de forma linear.
Vamos usar o parâmetro variando de 0 a 1:
onde vai de 0 a 1.

Passo 9

Calculamos dx = -3 , ds e dy = -3 , ds :

Passo 10

Substituímos na integral:
integralgamma2 x dx + y dyx^2 + y^2 = integral0^1 (2 - 3s)(-3) + (3 - 3s)(-3)(2 - 3s)^2 + (3 - 3s)^2 , ds

Passo 11

Simplificamos o numerador e o denominador:
Numerador:
(2 - 3s)(-3) + (3 - 3s)(-3) = -6 + 9s - 9 + 9s = 18s - 15
Denominador:
(2 - 3s)^2 + (3 - 3s)^2 = 4 - 12s + 9s^2 + 9 - 18s + 9s^2 = 18s^2 - 30s + 13
Então, a integral fica:
integral0^1 18s - 1518s^2 - 30s + 13 , ds

Passo 12

Notamos que o numerador é a derivada do denominador:
dds(18s^2 - 30s + 13) = 36s - 30 = 6(6s - 5)
E o numerador é 18s - 1518s^2 - 30s + 13 = 36 cdot 6(6s - 5)18s^2 - 30s + 13 = 12 cdot 36s - 3018s^2 - 30s + 13 . Portanto:
integral 18s - 1518s^2 - 30s + 13 , ds = 172 ln|18s^2 - 30s + 13| + C
Mas isso não simplifica diretamente para uma forma que permite integrar facilmente. Neste caso, podemos usar substituição:
Deixe 172 (ln(18(1)^2 - 30(1) + 13) - ln(18(0)^2 - 30(0) + 13)) = 172 (ln(18 - 30 + 13) - ln(13)) = 172 (ln(1) - ln(13)) = 172 (0 - ln(13)) = -172 ln(13) , então .
No numerador, temos .
Portanto:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 13

Finalmente, somamos as integrais das duas partes da curva:
12 ln(13) + (-172 ln(13)) = (12 - 172) ln(13) = 3672 - 172 = 3572 ln(13)

Resposta

A integral vale .

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