Calcule , onde é o arco de parábola , seguido pelo segmento de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha . A curva é composta por duas partes: primeiro, o arco da parábola no intervalo de de a , e depois, o segmento de reta que vai de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em curvas, especificamente integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar cada parte da curva e calcular a integral em cada uma delas separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a primeira parte da curva, que é o arco da parábola , com variando de a . Como é a variável independente, podemos usar como parâmetro.
Então, temos:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos expressar e em termos de . Derivando as equações acima em relação a :

Passo 4

Substituímos , , e na integral:

Passo 5

Simplificamos o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a integral fica:

Passo 6

Observamos que o numerador é derivada do denominador:
Note que .
Então, podemos escrever a integral como:

Passo 7

Calculamos os limites da integral:
Para :
Para :
Então, a integral da primeira parte é:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral na segunda parte da curva, que é o segmento de reta de a . Podemos parametrizar essa reta de forma linear.
Vamos usar o parâmetro variando de 0 a 1:
onde vai de 0 a 1.

Passo 9

Calculamos e :

Passo 10

Substituímos na integral:

Passo 11

Simplificamos o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a integral fica:

Passo 12

Notamos que o numerador é a derivada do denominador:
E o numerador é . Portanto:
Mas isso não simplifica diretamente para uma forma que permite integrar facilmente. Neste caso, podemos usar substituição:
Deixe , então .
No numerador, temos .
Portanto:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 13

Finalmente, somamos as integrais das duas partes da curva:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Usando integral de linha, calcule a área da região delimitada pelas curvas e .
Calcule sendo a curva fechada do domínio limitado entre e , percorrida no sentido anti-horário.
Considere a EDO não linear:
(b) Revise sua dedução do item anterior e veja que nela também podem-se obter como soluções e .
Note que não existe valores para a constante , em a) que conduzam às soluções mencionadas em b).
Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(a)