Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos ver esse exercício que tem uma equação diferencial e a gente precisa primeiro conferir se ela é homogênea. A equação dada é:
Vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, o que significa uma equação diferencial ser homogênea? Simplesmente, todos os termos da equação devem ter o mesmo grau quando a gente olha em relação a
e
. Isso ajuda a gente a simplificar e resolver a equação usando substituições.
Passo 3
Vamos verificar se a equação é homogênea. Olhando cada termo:
-
tem grau 2 -
também tem grau 2 -
tem grau 2 (porque é grau 1 e é grau 1, somando 2)
Como todos os termos têm o mesmo grau, a equação é realmente homogênea. Legal!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando uma substituição comum:
, ou seja,
. Isso simplifica a equação e facilita a resolução.
Passo 5
Vamos substituir
na equação original. Também precisamos calcular
em termos de
e
:
Substituindo na equação:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
- Expande
- Expande
- Multiplica
por :
Agora, a equação fica:
Passo 7
Vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando:
Factorizando
:
Passo 8
Dividimos toda a equação por
para simplificar:
Isso fica:
Passo 9
Agora temos uma equação que podemos integrar separadamente:
Vamos integrar ambos os lados:
Passo 10
Resolvendo as integrais:
-
-
– aqui, como é uma função de , mas assumindo constante durante a integração em relação a , essa parte fica -
Portanto:
Passo 11
Substituímos
de volta na equação:
Simplificando:
Passo 12
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 13
Rearranjando os termos para isolar
:
Fatorando
:
Passo 14
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar
como apenas uma constante arbitrária, então a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Considere a EDO não linear:
(b) Revise sua dedução do item anterior e veja que nela também podem-se obter como soluções
e
.
Note que não existe valores para a constante , em a) que conduzam às soluções mencionadas em b).
Note que não existe valores para a constante
Calcule
, onde
é o arco de parábola
, seguido pelo segmento de
a
.
Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
(d)
(d)
Resolva as seguintes equações usando um fator integrante
(a)
(a)