Confira que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
(a) (x^2 - 2 y^2) dx + (x y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos ver esse exercício que tem uma equação diferencial e a gente precisa primeiro conferir se ela é homogênea. A equação dada é:
Vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, o que significa uma equação diferencial ser homogênea? Simplesmente, todos os termos da equação devem ter o mesmo grau quando a gente olha em relação a e . Isso ajuda a gente a simplificar e resolver a equação usando substituições.

Passo 3

Vamos verificar se a equação é homogênea. Olhando cada termo:
  • tem grau 2
  • também tem grau 2
  • tem grau 2 (porque é grau 1 e é grau 1, somando 2)
Como todos os termos têm o mesmo grau, a equação é realmente homogênea. Legal!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando uma substituição comum: , ou seja, . Isso simplifica a equação e facilita a resolução.

Passo 5

Vamos substituir na equação original. Também precisamos calcular em termos de e :
Substituindo na equação:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. Expande
  2. Expande
  3. Multiplica por :
Agora, a equação fica:

Passo 7

Vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando:
Factorizando :

Passo 8

Dividimos toda a equação por para simplificar:
Isso fica:

Passo 9

Agora temos uma equação que podemos integrar separadamente:
Vamos integrar ambos os lados:

Passo 10

Resolvendo as integrais:
  1. – aqui, como é uma função de , mas assumindo constante durante a integração em relação a , essa parte fica
Portanto:

Passo 11

Substituímos de volta na equação:
Simplificando:

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 13

Rearranjando os termos para isolar :
Fatorando :

Passo 14

Finalmente, isolamos :
Podemos simplificar como apenas uma constante arbitrária, então a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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