Calcule
sendo
a curva fechada do domínio limitado entre
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva fechada. O enunciado nos dá a integral:
A curva
é limitada entre as funções
e
, e a gente vai percorrer essa curva no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral de linha. Na nossa integral, temos:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora,
:
Então, a diferença fica:
Passo 4
Agora, vamos delimitar a região
entre as curvas
e
. Primeiro, encontramos os pontos de interseção para saber os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Então, as soluções são
e
.
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla. Observando as curvas:
- Para
, a curva superior é (da equação ) e a curva inferior é .
Então, os limites de
vão de
até
, e
varia de
a
.
A integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, substituímos na integral externa:
Vamos expandir os termos:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Aplicando os limites de
a
:
Substituindo
:
Substituindo
, todos os termos são zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Sejam
uma função suave tal que
em
, um aberto simplesmente conexo. Mostre que o fluxo do campo gradiente de
através de uma curva fechada simples contida em
, na direção de sua normal exterior, é zero.
Usando o Teorema de Green, calcule
onde
é o círculo
.
Usando integral de linha, calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Calcule
, onde
é o arco de parábola
, seguido pelo segmento de
a
.