Calcule sendo a curva fechada do domínio limitado entre e , percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva fechada. O enunciado nos dá a integral:
A curva é limitada entre as funções e , e a gente vai percorrer essa curva no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha. Na nossa integral, temos:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, :
Então, a diferença fica:

Passo 4

Agora, vamos delimitar a região entre as curvas e . Primeiro, encontramos os pontos de interseção para saber os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, as soluções são e .
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla. Observando as curvas:
  • Para , a curva superior é (da equação ) e a curva inferior é .
Então, os limites de vão de até , e varia de a .
A integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, substituímos na integral externa:
Vamos expandir os termos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Aplicando os limites de a :
Substituindo :
Substituindo , todos os termos são zero.

Resposta

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Sejam uma função suave tal que em , um aberto simplesmente conexo. Mostre que o fluxo do campo gradiente de através de uma curva fechada simples contida em , na direção de sua normal exterior, é zero.
Usando o Teorema de Green, calcule onde é o círculo .
Usando integral de linha, calcule a área da região delimitada pelas curvas e .
Calcule , onde é o arco de parábola , seguido pelo segmento de a .