Calcule ointgamma(2 x y-x^2) d x+(x+y^2) d y sendo gamma a curva fechada do domínio limitado entre y=x^2 e y^2=x, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva fechada. O enunciado nos dá a integral:
ointgamma(2x y - x^2) dx + (x + y^2) dy
A curva gamma é limitada entre as funções y = x^2 e y^2 = x, e a gente vai percorrer essa curva no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P e Q na integral de linha. Na nossa integral, temos:
  • P(x, y) = 2xy - x^2
  • Q(x, y) = x + y^2
O Teorema de Green nos diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Então, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x(x + y^2) = 1 + 0 = 1
Agora, partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y(2xy - x^2) = 2x - 0 = 2x
Então, a diferença fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 2x

Passo 4

Agora, vamos delimitar a região D entre as curvas y = x^2 e y^2 = x. Primeiro, encontramos os pontos de interseção para saber os limites de integração.
Igualando as duas equações:
y = x^2 y^2 = x
Substituindo y = x^2 na segunda equação:
(x^2)^2 = x x^4 = x x^4 - x = 0 x(x^3 - 1) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 1.
Portanto, os pontos de interseção são (0, 0) e (1, 1).

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla. Observando as curvas:
  • Para 0 <= x <= 1, a curva superior é y = raizx (da equação y^2=x) e a curva inferior é y = x^2.
Então, os limites de y vão de x^2 até raizx, e x varia de 0 a 1.
A integral dupla fica:
integral duplaD (1 - 2x) , dA = integral0^1 integralx^2^raizx (1 - 2x) , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integralx^2^raizx (1 - 2x) , dy = (1 - 2x)(raizx - x^2)
Agora, substituímos na integral externa:
integral0^1 (1 - 2x)(raizx - x^2) , dx
Vamos expandir os termos:
(1 - 2x)(raizx - x^2) = raizx - x^2 - 2x^3/2 + 2x^3
Então, a integral fica:
integral0^1 ( raizx - x^2 - 2x^3/2 + 2x^3 ) dx

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
  1. integral raizx , dx = 23x^3/2
  2. integral x^2 , dx = 13x^3
  3. integral 2x^3/2 , dx = 2 cdot 25x^5/2 = 45x^5/2
  4. integral 2x^3 , dx = 2 cdot 14x^4 = 12x^4
Aplicando os limites de 0 a 1:
[ 23x^3/2 - 13x^3 - 45x^5/2 + 12x^4 ]0^1
Substituindo x=1:
23 - 13 - 45 + 12 = ( 23 - 13 ) + ( -45 + 12 ) = 13 - 810 + 510 = 13 - 310 = 1030 - 930 = 130
Substituindo x=0, todos os termos são zero.

Resposta

130

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