Usando integral de linha, calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área da região que está entre as curvas
e
usando integral de linha. Então, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral, especialmente como usar integrais para encontrar áreas delimitadas por duas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se intersectam, ou seja, onde
. Isso vai nos dar os limites de integração.
Passo 3
Resolvendo
:
Vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, podemos integrar a diferença das funções no intervalo de
a
:
Aqui, subtraímos
de
porque, nesse intervalo,
está acima de
.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Calculando a diferença:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule
sendo
a curva fechada do domínio limitado entre
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Sejam
uma função suave tal que
em
, um aberto simplesmente conexo. Mostre que o fluxo do campo gradiente de
através de uma curva fechada simples contida em
, na direção de sua normal exterior, é zero.
Calcule
, onde
é o arco de parábola
, seguido pelo segmento de
a
.
Considere a EDO não linear:
(b) Revise sua dedução do item anterior e veja que nela também podem-se obter como soluções
e
.
Note que não existe valores para a constante , em a) que conduzam às soluções mencionadas em b).
Note que não existe valores para a constante