Usando integral de linha, calcule a área da região delimitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área da região que está entre as curvas e usando integral de linha. Então, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral, especialmente como usar integrais para encontrar áreas delimitadas por duas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se intersectam, ou seja, onde . Isso vai nos dar os limites de integração.

Passo 3

Resolvendo :
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, podemos integrar a diferença das funções no intervalo de a :
Aqui, subtraímos de porque, nesse intervalo, está acima de .

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 8

Calculando a diferença:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule sendo a curva fechada do domínio limitado entre e , percorrida no sentido anti-horário.
Sejam uma função suave tal que em , um aberto simplesmente conexo. Mostre que o fluxo do campo gradiente de através de uma curva fechada simples contida em , na direção de sua normal exterior, é zero.
Calcule , onde é o arco de parábola , seguido pelo segmento de a .
Considere a EDO não linear:
(b) Revise sua dedução do item anterior e veja que nela também podem-se obter como soluções e .
Note que não existe valores para a constante , em a) que conduzam às soluções mencionadas em b).