Calcule integralgamma x^2 d x+y^2 d y+z^2 d z, onde gamma é a poligonal de vértices A0=(0,0,0), A1=(1,1,1) e A2=(1,1,0), orientada de A0 para A2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é um caminho poligonal que vai de até e depois até . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral de linha é uma forma de somar valores ao longo de uma curva. Aqui, nossa curva é dividida em duas partes: de a e de a . Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos parametrizar o primeiro segmento, de x(t) = t y(t) = t z(t) = t a dx = dt, dy = dt, dz = dt . Podemos usar um parâmetro integral0^1 (t^2 cdot dt + t^2 cdot dt + t^2 cdot dt) = integral0^1 3t^2 dt que varia de 0 a 1:
3 integral0^1 t^2 dt = 3 [ t^33 ]0^1 = 3 ( 13 - 0 ) = 1
Derivando em relação a , temos:
Agora, substituímos na integral:
Calculando a integral:

Passo 4

Agora, vamos parametrizar o segundo segmento, de x(t) = 1 y(t) = 1 z(t) = 1 - t a dx = 0, dy = 0, dz = -dt . Aqui, o movimento ocorre apenas na direção integral0^1 (1^2 cdot 0 + 1^2 cdot 0 + (1 - t)^2 cdot (-dt)) = -integral0^1 (1 - t)^2 dt , já que -integral0^1 (1 - 2t + t^2) dt = -[ t - t^2 + t^33 ]0^1 = -(1 - 1 + 13) = -13 e permanecem iguais a 1. Vamos parametrizar com de 0 a 1:
Derivando em relação a , temos:
Substituindo na integral:
Expandindo e calculando a integral:

Resposta

Somando as integrais dos dois segmentos:
1 + (-13) = 23
Portanto, o valor final da integral é .

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