Calcule , onde é a poligonal de vértices e , orientada de para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é um caminho poligonal que vai de até e depois até . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral de linha é uma forma de somar valores ao longo de uma curva. Aqui, nossa curva é dividida em duas partes: de a e de a . Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos parametrizar o primeiro segmento, de a . Podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1:
Derivando em relação a , temos:
Agora, substituímos na integral:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, vamos parametrizar o segundo segmento, de x(t) = 1 y(t) = 1 z(t) = 1 - t a dx = 0, dy = 0, dz = -dt . Aqui, o movimento ocorre apenas na direção integral0^1 (1^2 cdot 0 + 1^2 cdot 0 + (1 - t)^2 cdot (-dt)) = -integral0^1 (1 - t)^2 dt , já que -integral0^1 (1 - 2t + t^2) dt = -[ t - t^2 + t^33 ]0^1 = -(1 - 1 + 13) = -13 e permanecem iguais a 1. Vamos parametrizar com de 0 a 1: