Seja A uma matriz cujo polinômio característico é p(lambda)=lambda^3(lambda-4)^2(lambda+1)(lambda+5 Sabendo que A é diagonalizável então qual é a dimensão do autoespaço de A associado autovalor lambda=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma matriz e seu polinômio característico . A gente precisa descobrir a dimensão do autoespaço de associado ao autovalor . Isso tá dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele nos dá informações sobre os autovalores da matriz . Cada fator do polinômio, tipo , indica que é um autovalor, e o expoente desse fator é a multiplicidade algébrica desse autovalor.

Passo 3

Observando , vemos que é um autovalor com multiplicidade algébrica de 1, já que o fator aparece uma vez.

Passo 4

Agora, como a matriz é diagonalizável, sabemos que para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) é igual à multiplicidade algébrica. Ou seja, não tem aqueles casos complicados onde a multiplicidade geométrica é menor.

Passo 5

Portanto, para , que tem multiplicidade algébrica 1, a multiplicidade geométrica também será 1. Isso significa que o autoespaço associado a tem dimensão 1.

Resposta

A dimensão do autoespaço de associado ao autovalor é 1.

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