Seja
uma matriz cujo polinômio característico é
Sabendo que
é diagonalizável então qual é a dimensão do autoespaço de
associado autovalor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma matriz
e seu polinômio característico
. A gente precisa descobrir a dimensão do autoespaço de
associado ao autovalor
. Isso tá dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele nos dá informações sobre os autovalores da matriz
. Cada fator do polinômio, tipo
, indica que
é um autovalor, e o expoente desse fator é a multiplicidade algébrica desse autovalor.
Passo 3
Observando
, vemos que
é um autovalor com multiplicidade algébrica de 1, já que o fator
aparece uma vez.
Passo 4
Agora, como a matriz
é diagonalizável, sabemos que para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) é igual à multiplicidade algébrica. Ou seja, não tem aqueles casos complicados onde a multiplicidade geométrica é menor.
Passo 5
Portanto, para
, que tem multiplicidade algébrica 1, a multiplicidade geométrica também será 1. Isso significa que o autoespaço associado a
tem dimensão 1.
Resposta
A dimensão do autoespaço de
associado ao autovalor
é 1.