Determine o centro da circunferência 2 x^2+2 y^2-10 x+6 y-15=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer encontrar o centro da circunferência dada pela equação . Para isso, vamos usar um conteúdo da geometria analítica chamado “completar o quadrado”. Isso ajuda a transformar a equação geral da circunferência na forma padrão, onde fica fácil identificar o centro.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2. Isso vai deixar os coeficientes de 2x^22 + 2y^22 - 10x2 + 6y2 - 152 = 0 e x^2 + y^2 - 5x + 3y - 7.5 = 0 igual a 1, facilitando nossos cálculos:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar os termos para preparar a completação do quadrado. Colocamos os termos com x^2 - 5x + y^2 + 3y = 7.5 juntos e os termos com juntos, deixando o numero do lado direito:

Passo 4

Vamos completar o quadrado para as partes de x^2 - 5x + 254 + y^2 + 3y + 94 = 7.5 + 254 + 94 e individualmente. Primeiro, para :
  1. Pegamos o coeficiente de , que é -5.
  2. Dividimos por 2: .
  3. Elevamos ao quadrado: .
Fazemos o mesmo para :
  1. Coeficiente de é 3.
  2. Dividimos por 2: .
  3. Elevamos ao quadrado: .
Agora, adicionamos esses valores aos dois lados da equação para manter o equilíbrio:

Passo 5

Agora, reescrevemos a equação com os quadrados completos e calculamos o lado direito:
(x - 52)^2 + (y + 32)^2 = 7.5 + 344
(x - 52)^2 + (y + 32)^2 = 7.5 + 8.5
(x - 52)^2 + (y + 32)^2 = 16

Resposta

O centro da circunferência é .

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