Os focos de uma elipse são (3,8) e (3,2) e o comprimento do seu semieixo normal é 4 . Determine sua excentricidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a elipse! A gente tem os dois focos da elipse em (3,8) e (3,2) e o comprimento do semieixo normal é 4. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a excentricidade dessa elipse. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria das elipses, como a relação entre os semieixos e os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição dos focos. Como os dois focos têm a mesma coordenada x (ambos são 3), isso significa que a elipse está “de pé”, ou seja, seu eixo maior está na vertical. A distância entre os focos é importante para a gente encontrar o valor de c = Distância entre os focos2 , que na elipse representa a distância do centro até cada foco.
Para calcular a distância entre os focos, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
c = 62 = 3 â
Aqui, a distância total entre os focos é de unidades, então:

Passo 3

Agora, o semieixo normal dado é o semieixo menor da elipse, que chamamos de c^2 = a^2 - b^2 . Nesse caso, a^2 = c^2 + b^2 .
Sabemos que em uma elipse, existe uma relação entre o semieixo maior ( a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 ), o semieixo menor ( a = raiz25 = 5 ) e :
Queremos encontrar , então vamos reorganizar a fórmula:
Substituindo os valores que já temos:
Então,

Passo 4

Por fim, para encontrar a excentricidade e = ca da elipse, usamos a fórmula:
e = 35 = 0,6
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A excentricidade da elipse é .

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