Determine a excentricidade, os focos e as diretrizes da elipse 9 x^2+ 25 y^2=225

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação de uma elipse: . Nosso objetivo é encontrar três coisas: a excentricidade da elipse, os focos e as diretrizes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma padrão da equação da elipse e como extrair esses parâmetros dela.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A equação padrão de uma elipse é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Para isso, dividimos toda a equação original por 225:
9x^2225 + 25y^2225 = 225225
Simplificando, temos:
x^225 + y^29 = 1

Passo 3

Agora, identificamos os valores de a^2 = 25 Rightarrow a = 5 e b^2 = 9 Rightarrow b = 3 :
Aqui, representa o semi-eixo maior e o semi-eixo menor da elipse.

Passo 4

Vamos calcular a excentricidade ( e = ca ) da elipse. A excentricidade mede o quão “alongada” é a elipse e é dada por:
c = raiza^2 - b^2 = raiz25 - 9 = raiz16 = 4
Onde e = 45 = 0,8 é a distância do centro aos focos, calculada por:
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os focos da elipse. Como (pm c, 0) = (pm 4, 0) está associado ao eixo , os focos estarão ao longo desse eixo. As coordenadas dos focos são:
Ou seja, os focos estão em e .

Passo 6

Por fim, vamos determinar as diretrizes da elipse. As diretrizes são linhas retas que estão relacionadas à excentricidade e ao semi-eixo maior. A distância das diretrizes ao centro é dada por:
d = ae = 50,8 = 6,25
Como o eixo maior está no eixo x = pm 6,25 , as diretrizes serão linhas verticais nas posições:

Resposta

  • Excentricidade:
  • Focos: e
  • Diretrizes: e

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