Determine a excentricidade, os focos e as diretrizes da elipse
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação de uma elipse:
. Nosso objetivo é encontrar três coisas: a excentricidade da elipse, os focos e as diretrizes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma padrão da equação da elipse e como extrair esses parâmetros dela.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A equação padrão de uma elipse é:
Para isso, dividimos toda a equação original por 225:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, identificamos os valores de
e
:
Aqui,
representa o semi-eixo maior e
o semi-eixo menor da elipse.
Passo 4
Vamos calcular a excentricidade (
) da elipse. A excentricidade mede o quão “alongada” é a elipse e é dada por:
Onde
é a distância do centro aos focos, calculada por:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os focos da elipse. Como
está associado ao eixo
, os focos estarão ao longo desse eixo. As coordenadas dos focos são:
Ou seja, os focos estão em
e
.
Passo 6
Por fim, vamos determinar as diretrizes da elipse. As diretrizes são linhas retas que estão relacionadas à excentricidade e ao semi-eixo maior. A distância das diretrizes ao centro é dada por:
Como o eixo maior está no eixo
, as diretrizes serão linhas verticais nas posições:
Resposta
- Excentricidade:
- Focos:
e - Diretrizes:
e