Suponha que f(x)=sumn=0^infty cn x^n para todo x.
Se f for uma função ímpar, mostre que
c0=c2=c4=cdots=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos uma função f(x) = sumn=0^infty cn x^n representada por uma série de potências:
c0 = c2 = c4 = cdots = 0
E foi dito que é uma função ímpar. Nosso objetivo é mostrar que os coeficientes das potências pares de são zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função ímpar e como isso afeta os coeficientes da série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função f(-x) = -f(x) é ímpar se, para todo no domínio, vale:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(-x) = sumn=0^infty cn (-x)^n = sumn=0^infty cn (-1)^n x^n . Substituindo na série de potências, temos:

Passo 4

De acordo com a propriedade de ser ímpar, sabemos que:
f(-x) = -f(x)
Então, substituindo as duas expressões, temos:
sumn=0^infty cn (-1)^n x^n = -sumn=0^infty cn x^n

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo cn (-1)^n = -cn para todo n , os coeficientes das potências de devem ser iguais em ambos os lados da equação. Portanto:

Passo 6

Vamos resolver essa igualdade para cn (-1)^n = -cn cn [ (-1)^n + 1 ] = 0 :

Passo 7

A equação implica que ou ou .
Analisando :
  • Se for par, , então , o que força .
  • Se for ímpar, , então , e pode ser qualquer valor.

Resposta

Portanto, todos os coeficientes c0 = c2 = c4 = cdots = 0 para par são iguais a zero:

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