Suponha que
para todo
.
Se
for uma função ímpar, mostre que
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos uma função
representada por uma série de potências:
E foi dito que
é uma função ímpar. Nosso objetivo é mostrar que os coeficientes das potências pares de
são zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função ímpar e como isso afeta os coeficientes da série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função
é ímpar se, para todo
no domínio, vale:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo
na série de potências, temos:
Passo 4
De acordo com a propriedade de ser ímpar, sabemos que:
Então, substituindo as duas expressões, temos:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes das potências de
devem ser iguais em ambos os lados da equação. Portanto:
Passo 6
Vamos resolver essa igualdade para
:
Passo 7
A equação
implica que ou
ou
.
Analisando
:
- Se
for par, , então , o que força . - Se
for ímpar, , então , e pode ser qualquer valor.
Resposta
Portanto, todos os coeficientes
para
par são iguais a zero:
Exercícios relacionados
Use séries para avaliar o limite a seguir.
A força da gravidade em um objeto de massa
a uma altura
acima da superfície da Terra é
onde
é o raio da Terra e
é a aceleração da gravidade.
Observe que, se aproximarmos pelo primeiro termo na série, obtemos a expressão
, que é geralmente usada quando
é muito menor que
. Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas para estimar a gama de valores de
para os quais a aproximação
tem precisão de
. (Use
)
Observe que, se aproximarmos
Calcule
, sendo
o segmento de retas de extremidades
e
percorrido no sentido de
para
.