Passo 1
Beleza, vamos resolver o seguinte exercício de cálculo integral:
Aqui, estamos lidando com uma fração racional, onde o grau do numerador (grau 2) é menor que o grau do denominador (grau 3). Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a fração parcial. Primeiro, precisamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, usamos o Teorema das Raízes Racionais, que nos ajuda a encontrar possíveis raízes da equação. As possíveis raízes são os divisores do termo independente dividido pelos divisores do coeficiente principal. Neste caso, as possíveis raízes são
.
Vamos testar
:
Como resultou em zero,
é uma raiz, então
é um fator do denominador.
Passo 3
Agora, dividimos o denominador por
usando divisão sintética para encontrar os outros fatores:
Agora, precisamos fatorar o polin��mio quadrático
. Procuramos dois números que, multiplicados, dão
(produto de
) e que somados dão
. Esses números são
e
.
Então, a fatoração fica:
Portanto, o denominador completo fatorado é:
Passo 4
Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como:
Isso é a decomposição em frações parciais, onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Para encontrar
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, expandimos e agrupamos os termos para igualar os coeficientes dos termos correspondentes.
Passo 6
Escolhemos valores específicos para
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora que temos
e
, substituímos esses valores na equação original para encontrar
. Podemos escolher outro valor de
ou comparar os coeficientes dos termos.
Usando
:
Passo 8
Agora que temos
,
e
, podemos escrever a decomposição completa:
Passo 9
Finalmente, integramos cada termo separadamente:
As integrais resultam em:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
Exercícios relacionados
Suponha que
para todo
.
Se for uma função ímpar, mostre que
Se
Use séries para avaliar o limite a seguir.
Calcule
, sendo
o segmento de retas de extremidades
e
percorrido no sentido de
para
.
Calcule
, onde
é o quadrado centrado na origem e lado 2 .