integral x^2-5 x+162 x^3-7 x^2+4 x+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o seguinte exercício de cálculo integral:
integral x^2 - 5x + 162x^3 - 7x^2 + 4x + 4 , dx
Aqui, estamos lidando com uma fração racional, onde o grau do numerador (grau 2) é menor que o grau do denominador (grau 3). Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a fração parcial. Primeiro, precisamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2(2)^3 - 7(2)^2 + 4(2) + 4 = 16 - 28 + 8 + 4 = 0 . Para isso, usamos o Teorema das Raízes Racionais, que nos ajuda a encontrar possíveis raízes da equação. As possíveis raízes são os divisores do termo independente dividido pelos divisores do coeficiente principal. Neste caso, as possíveis raízes são .
Vamos testar :
Como resultou em zero, é uma raiz, então é um fator do denominador.

Passo 3

Agora, dividimos o denominador por 2x^3 - 7x^2 + 4x + 4 = (x - 2)(2x^2 - 3x - 2) usando divisão sintética para encontrar os outros fatores:
2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2)
Agora, precisamos fatorar o polin��mio quadrático 2x^3 - 7x^2 + 4x + 4 = (x - 2)^2 (2x + 1) . Procuramos dois números que, multiplicados, dão (produto de ) e que somados dão . Esses números são e .
Então, a fatoração fica:
Portanto, o denominador completo fatorado é:

Passo 4

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como:
x^2 - 5x + 16(x - 2)^2 (2x + 1) = Ax - 2 + B(x - 2)^2 + C2x + 1
Isso é a decomposição em frações parciais, onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Para encontrar x^2 - 5x + 16 = A(x - 2)(2x + 1) + B(2x + 1) + C(x - 2)^2 , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, expandimos e agrupamos os termos para igualar os coeficientes dos termos correspondentes.

Passo 6

Escolhemos valores específicos para 2^2 - 5(2) + 16 = A(0) + B(5) + C(0) Rightarrow 4 - 10 + 16 = 5B Rightarrow 10 = 5B Rightarrow B = 2 que simplificam a equação:
  1. Para (-12)^2 - 5(-12) + 16 = A(-12 - 2)(0) + B(0) + C(-12 - 2)^2 :
14 + 52 + 16 = C(-52)^2 Rightarrow 14 + 52 + 16 = C cdot 254 Rightarrow 1 + 10 + 644 = 254C Rightarrow 75 = 25C Rightarrow C = 3
  1. Para :

Passo 7

Agora que temos 0^2 - 5(0) + 16 = A(-2)(1) + 2(1) + 3(-2)^2 Rightarrow 16 = -2A + 2 + 12 Rightarrow 16 = -2A + 14 Rightarrow 2 = -2A Rightarrow A = -1 e , substituímos esses valores na equação original para encontrar . Podemos escolher outro valor de ou comparar os coeficientes dos termos.
Usando :

Passo 8

Agora que temos x^2 - 5x + 16(x - 2)^2 (2x + 1) = -1x - 2 + 2(x - 2)^2 + 32x + 1 , e , podemos escrever a decomposição completa:

Passo 9

Finalmente, integramos cada termo separadamente:
integral -1x - 2 , dx + integral 2(x - 2)^2 , dx + integral 32x + 1 , dx
As integrais resultam em:
- ln|x - 2| + 2x - 2 + 32 ln|2x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
- ln|x - 2| + 2x - 2 + 32 ln|2x + 1| + C

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