Verifique se a função f(x, y) = ln(1 + x^(2 * d6) + y^(2 * d7)) é diferenciável.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é diferenciável. Para isso, vamos trabalhar com cálculo multivariable, especificamente analisando as derivadas parciais da função e sua continuidade. Os passos principais serão calcular as derivadas parciais de em relação a e e verificar se essas derivadas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia para isso:
Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas. Observamos que o denominador é sempre maior que 1, pois e são termos não negativos. Assim, o denominador nunca é zero, garantindo que as derivadas parciais estão bem definidas para todos os valores de e .
Além disso, os numeradores e são funções polinomiais contínuas. Como o quociente de duas funções contínuas (com o denominador diferente de zero) também é contínuo, concluímos que as derivadas parciais de são contínuas em todo o domínio.

Resposta

Como as derivadas parciais de existem e são contínuas em todo o domínio, a função é diferenciável.

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