Verifique se a função
é diferenciável.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se ela é diferenciável. Para isso, vamos trabalhar com cálculo multivariable, especificamente analisando as derivadas parciais da função e sua continuidade. Os passos principais serão calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e verificar se essas derivadas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para isso:
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas. Observamos que o denominador
é sempre maior que 1, pois
e
são termos não negativos. Assim, o denominador nunca é zero, garantindo que as derivadas parciais estão bem definidas para todos os valores de
e
.
Além disso, os numeradores
e
são funções polinomiais contínuas. Como o quociente de duas funções contínuas (com o denominador diferente de zero) também é contínuo, concluímos que as derivadas parciais de
são contínuas em todo o domínio.
Resposta
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo o domínio, a função
é diferenciável.