Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para verificar se o campo vetorial dado, , é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que define um campo conservativo e aplicar esse conceito ao nosso campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula de um ponto a outro não depende do caminho escolhido, mas apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Agora, como verificar se um campo vetorial é conservativo? Em duas dimensões, temos um critério bem prático: se , então o campo é conservativo se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Em outras palavras:

Passo 4

Vamos aplicar esse critério ao nosso campo vetorial . Aqui, e .
Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Claramente, não é igual a para valores gerais de . Portanto, as derivadas parciais não são iguais.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, pois as derivadas parciais e não são iguais.

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