Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para verificar se o campo vetorial dado,
, é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que define um campo conservativo e aplicar esse conceito ao nosso campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial. Isso significa que o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula de um ponto a outro não depende do caminho escolhido, mas apenas dos pontos inicial e final.
Passo 3
Agora, como verificar se um campo vetorial é conservativo? Em duas dimensões, temos um critério bem prático: se
, então o campo é conservativo se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Em outras palavras:
Passo 4
Vamos aplicar esse critério ao nosso campo vetorial
. Aqui,
e
.
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Claramente,
não é igual a
para valores gerais de
. Portanto, as derivadas parciais não são iguais.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, pois as derivadas parciais
e
não são iguais.
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Determine os extremos de
sob a condição
.
Utilizando o teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, em que
.
Calcule
, em que
é a fronteira do triangulo de vértices
,
e
, orientada no sentido anti-horário.