Calcule
onde
é a curva dada por
e
, com
ligando os pontos
, nessa ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha:
Aqui,
é uma curva definida por
e
, onde
, ligando os pontos
e
. Para resolver, vamos precisar usar cálculo de integrais de linha e derivadas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Essas derivadas nos ajudarão a substituir
e
na integral.
Passo 3
Agora, substituímos
,
,
, e
na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Como
, o numerador fica:
Passo 5
A integral agora fica:
Vamos simplificar o denominador usando a identidade
:
Passo 6
Substituindo no denominador:
Essa expressão pode ser reconhecida como uma integral que representa a mudança angular ao longo da curva
.
Passo 7
Observando que:
Onde
é o ângulo polar. Então, a integral torna-se:
Passo 8
A curva
vai de
a
, ou seja, o ângulo
varia de
a
. Portanto: