Calcule
onde
é a curva dada por
e
, com
ligando os pontos
, nessa ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha:
Aqui,
é uma curva definida por
e
, onde
, ligando os pontos
e
. Para resolver, vamos precisar usar cálculo de integrais de linha e derivadas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Essas derivadas nos ajudarão a substituir
e
na integral.
Passo 3
Agora, substituímos
,
,
, e
na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Como
, o numerador fica:
Passo 5
A integral agora fica:
Vamos simplificar o denominador usando a identidade
:
Passo 6
Substituindo no denominador:
Essa expressão pode ser reconhecida como uma integral que representa a mudança angular ao longo da curva
.
Passo 7
Observando que:
Onde
é o ângulo polar. Então, a integral torna-se:
Passo 8
A curva
vai de
a
, ou seja, o ângulo
varia de
a
. Portanto:
Resposta
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<html><head></head><body><div>Considere o problema de valor inicial com condições de fronteira a seguir.</div>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -3.664ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“52.843ex” height=“8.459ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -2119.4 23356.6 3738.7”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mtable”><g data-mml-node=“mtr” transform=“translate(0,1235.4)”><g data-mml-node=“mtd” transform=“translate(1240.4,0)”><g data-mml-node=“msubsup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D715” d=“M202 508Q179 508 169 520T158 547Q158 557 164 577T185 624T230 675T301 710L333 715H345Q378 715 384 714Q447 703 489 661T549 568T566 457Q566 362 519 240T402 53Q321 -22 223 -22Q123 -22 73 56Q42 102 42 148V159Q42 276 129 370T322 465Q383 465 414 434T455 367L458 378Q478 461 478 515Q478 603 437 639T344 676Q266 676 223 612Q264 606 264 572Q264 547 246 528T202 508ZM430 306Q430 372 401 400T333 428Q270 428 222 382Q197 354 183 323T150 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144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(3387.9,0)”><path data-c=“1D462” d=“M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 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<div>Determine os domínios, as imagens e verifique quais das relações <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.357ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“2.658ex” height=“1.9ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -682 1175 839.8”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“52” d=“M37 475Q19 475 19 487Q19 503 35 530T83 589T180 647T327 682H374Q387 682 417 682T464 683Q519 683 559 679T642 663T708 625T731 557Q731 481 668 411T504 300Q506 296 512 286T528 257T553 202Q594 105 611 82Q635 47 665 47Q708 47 742 93Q758 113 786 128Q804 136 819 137Q837 137 837 125Q837 115 818 92T767 43T687 -2T589 -22Q549 -22 517 22T467 120T422 221T362 273Q346 273 346 287Q348 301 373 320T436 342Q437 342 446 343T462 345T481 348T504 353T527 362T553 375T577 393Q598 412 614 443T630 511Q630 545 613 566T541 600T393 614Q370 614 370 613L366 584Q349 446 311 307T243 96L213 25Q205 8 179 -7T132 -22Q125 -22 120 -18T117 -8Q117 -5 130 26T163 113T205 239T246 408T274 606V614Q273 614 259 613T231 609T198 602T163 588Q131 572 113 518Q102 502 80 490T37 475Z”></path></g></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(881,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D456” d=“M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>, de <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.717ex” height=“1.545ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -683 759 683”><title>A</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D435” d=“M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, definidas abaixo são funções:<br>
a) <span class="math-inline ">
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<div>Determine os domínios, as imagens e verifique quais das relações <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.357ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“2.658ex” height=“1.9ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -682 1175 839.8”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“52” d=“M37 475Q19 475 19 487Q19 503 35 530T83 589T180 647T327 682H374Q387 682 417 682T464 683Q519 683 559 679T642 663T708 625T731 557Q731 481 668 411T504 300Q506 296 512 286T528 257T553 202Q594 105 611 82Q635 47 665 47Q708 47 742 93Q758 113 786 128Q804 136 819 137Q837 137 837 125Q837 115 818 92T767 43T687 -2T589 -22Q549 -22 517 22T467 120T422 221T362 273Q346 273 346 287Q348 301 373 320T436 342Q437 342 446 343T462 345T481 348T504 353T527 362T553 375T577 393Q598 412 614 443T630 511Q630 545 613 566T541 600T393 614Q370 614 370 613L366 584Q349 446 311 307T243 96L213 25Q205 8 179 -7T132 -22Q125 -22 120 -18T117 -8Q117 -5 130 26T163 113T205 239T246 408T274 606V614Q273 614 259 613T231 609T198 602T163 588Q131 572 113 518Q102 502 80 490T37 475Z”></path></g></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(881,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D456” d=“M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>, de <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.717ex” height=“1.545ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -683 759 683”><title>A</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D435” d=“M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, definidas abaixo são funções:<br>
a) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.149ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“49.316ex” height=“5.43ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1450 21797.8 2400”><title>B</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“52” d=“M37 475Q19 475 19 487Q19 503 35 530T83 589T180 647T327 682H374Q387 682 417 682T464 683Q519 683 559 679T642 663T708 625T731 557Q731 481 668 411T504 300Q506 296 512 286T528 257T553 202Q594 105 611 82Q635 47 665 47Q708 47 742 93Q758 113 786 128Q804 136 819 137Q837 137 837 125Q837 115 818 92T767 43T687 -2T589 -22Q549 -22 517 22T467 120T422 221T362 273Q346 273 346 287Q348 301 373 320T436 342Q437 342 446 343T462 345T481 348T504 353T527 362T553 375T577 393Q598 412 614 443T630 511Q630 545 613 566T541 600T393 614Q370 614 370 613L366 584Q349 446 311 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<html><head></head><body><div>Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.244ex” height=“2.059ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 550 910”><title>f</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> são iguais. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“30.021ex” height=“2.47ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -841.7 13269.2 1091.7”><title>f(x, y) = 4x^2 - 8xy^4 + 7y^5 - 3</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.244ex” height=“2.059ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 550 910”><title>f</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> são iguais. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.108ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.369ex” height=“3.138ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -897.2 5909.3 1387.2”><title>f(x, y)=(x-y)/(x+y)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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