Calcule
integralgamma y d x-x d yx^2+y^2
onde gamma é a curva dada por x(t)=cos ^3 t e y(t)=sin ^3 t, com y >= 0 ligando os pontos (1,0) e (0,1), nessa ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha:
integralgamma y , dx - x , dyx^2 + y^2
Aqui, gamma é uma curva definida por x(t) = cos^3 t e y(t) = sin^3 t, onde y >= 0, ligando os pontos (1,0) e (0,1). Para resolver, vamos precisar usar cálculo de integrais de linha e derivadas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.
dxdt = ddt (cos^3 t) = -3 cos^2 t sin t
dydt = ddt (sin^3 t) = 3 sin^2 t cos t
Essas derivadas nos ajudarão a substituir dx e dy na integral.

Passo 3

Agora, substituímos x(t), y(t), dx, e dy na integral original:
integral0^pi2 sin^3 t cdot (-3 cos^2 t sin t) - cos^3 t cdot (3 sin^2 t cos t)cos^6 t + sin^6 t , dt

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
-3 sin^4 t cos^2 t - 3 sin^2 t cos^4 t = -3 sin^2 t cos^2 t (sin^2 t + cos^2 t)
Como sin^2 t + cos^2 t = 1, o numerador fica:
-3 sin^2 t cos^2 t

Passo 5

A integral agora fica:
integral0^pi2 -3 sin^2 t cos^2 tcos^6 t + sin^6 t , dt
Vamos simplificar o denominador usando a identidade sin^6 t + cos^6 t = 1 - 3 sin^2 t cos^2 t:
cos^6 t + sin^6 t = 1 - 3 sin^2 t cos^2 t

Passo 6

Substituindo no denominador:
integral0^pi2 -3 sin^2 t cos^2 t1 - 3 sin^2 t cos^2 t , dt
Essa expressão pode ser reconhecida como uma integral que representa a mudança angular ao longo da curva gamma.

Passo 7

Observando que:
y , dx - x , dyx^2 + y^2 = -dtheta
Onde theta é o ângulo polar. Então, a integral torna-se:
integralgamma -dtheta = -De

Passo 8

A curva gamma vai de (1,0) a (0,1), ou seja, o ângulo theta varia de 0 a pi2. Portanto:
-De

Resposta

-pi2

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