Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos a função . O objetivo é verificar se as derivadas parciais de segunda ordem mistas dessa função são iguais, ou seja, se . Para isso, precisamos calcular ambas as derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar .
Derivando em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, derivamos em relação a para encontrar .
Derivando em relação a :

Resposta

Como e , concluímos que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais.

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Calcule
onde é a curva dada por e , com ligando os pontos , nessa ordem.
Considere o problema de valor inicial com condições de fronteira a seguir.
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .
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