Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos a função
. O objetivo é verificar se as derivadas parciais de segunda ordem mistas dessa função são iguais, ou seja, se
. Para isso, precisamos calcular ambas as derivadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
.
Derivando
em relação a
:
Resposta
Como
e
, concluímos que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é a curva dada por
e
, com
ligando os pontos
, nessa ordem.
Considere o problema de valor inicial com condições de fronteira a seguir.
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
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