Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para confirmar que as derivadas parciais de segunda ordem mistas da função
são iguais. Estamos lidando com cálculo de derivadas parciais, especificamente verificando a igualdade entre
e
. Para resolver isso, vamos calcular essas derivadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas medem a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo a outra constante. As derivadas mistas de segunda ordem,
e
, significam que primeiro diferenciamos em relação a uma variável e depois em relação à outra.
Passo 3
Vamos começar calculando
, a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da derivada de uma fração:
A derivada de
em relação a
é:
Onde
e
. Então:
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra da derivada de uma fração:
Passo 6
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Resposta
Viu só? As duas derivadas mistas são iguais:
Exercícios relacionados
Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
.
Calcule
onde
é a curva dada por
e
, com
ligando os pontos
, nessa ordem.
Encontre
em
.
.
Encontre o gradiente de
no ponto indicado.
.