Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para confirmar que as derivadas parciais de segunda ordem mistas da função são iguais. Estamos lidando com cálculo de derivadas parciais, especificamente verificando a igualdade entre e . Para resolver isso, vamos calcular essas derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas medem a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo a outra constante. As derivadas mistas de segunda ordem, e , significam que primeiro diferenciamos em relação a uma variável e depois em relação à outra.

Passo 3

Vamos começar calculando , a derivada parcial de em relação a . Usando a regra da derivada de uma fração:
A derivada de em relação a é:
Onde e . Então:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra da derivada de uma fração:

Passo 6

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Resposta

Viu só? As duas derivadas mistas são iguais:

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Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de são iguais. .
Calcule
onde é a curva dada por e , com ligando os pontos , nessa ordem.
Encontre em . .
Encontre o gradiente de no ponto indicado. .