Considere o problema de valor inicial com condições de fronteira a seguir.
partialt^2 u & =64 partialx^2 u, 00 u(0, t) & =0, u(1, t)=0, t>0 u(x, 0) & =x(1-x), partialt u(x, 0)=sen(pi x), 0 <= x <= 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial que descreve como uma quantidade varia no espaço ( ) e no tempo ( ). A equação é conhecida como equação da onda. As condições fornecidas são:
  • Condições de fronteira: e , que indicam que nas posições e , a quantidade é sempre zero para qualquer tempo .
  • Condições iniciais: e , que nos dizem o estado inicial de e sua taxa de variação no tempo quando .
Para resolver esse problema, vamos usar a separação de variáveis, uma técnica que permite resolver equações diferenciais parciais dividindo a função em partes que dependem apenas de e apenas de .

Passo 2

Começamos assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções separadas:
u(x, t) = X(x) cdot T(t)
Aqui, depende apenas de e depende apenas de .

Passo 3

Substituímos partialt^2 u = 64 partialx^2 u na equação original da onda:
X(x) cdot T''(t) = 64 cdot X''(x) cdot T(t)
Derivando em relação ao tempo e ao espaço, temos:

Passo 4

Rearranjamos a equação para separar as variáveis:
T''(t)64 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, introduzimos uma constante que iguala as duas expressões, já que cada lado da equação depende de uma única variável.

Passo 5

Isso nos leva a duas equações ordinárias:
  1. Para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
T''(t) + 64 lambda T(t) = 0
  1. Para :

Passo 6

Vamos resolver a equação para X(x) = A sin(raizlambda x) + B cos(raizlambda x) com as condições de fronteira 0 = A sin(0) + B cos(0) Rightarrow B = 0 e A sin(raizlambda cdot 1) = 0 .
A solução geral da equação diferencial é:
raizlambda = npi onde n = 1, 2, 3, dots
Aplicando :
Então, .
Aplicando :
Para que isso seja verdadeiro (não trivialidade A ≠ 0), precisamos que:
Então, .

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para T''(t) + 64 n^2 pi^2 T(t) = 0 com Tn(t) = Cn cos(8 n pi t) + Dn sin(8 n pi t) :
A solução geral é:

Passo 8

Assim, a solução geral da equação da onda é uma soma de todas as soluções possíveis:
u(x, t) = sumn=1^infty [ Cn cos(8 n pi t) + Dn sin(8 n pi t) ] sin(n pi x)

Passo 9

Aplicamos agora as condições iniciais para determinar os coeficientes u(x, 0) = sumn=1^infty Cn sin(n pi x) = x(1 - x) e Cn = 2 integral0^1 x(1 - x) sin(n pi x) dx .
Primeiro, para partialt u(x, 0) = sumn=1^infty 8 n pi Dn sin(n pi x) = sin(pi x) :
8 n pi Dn = 1 & se n = 1 0 & caso contrário
Isso implica que:
Segundo, para :
Isso implica que:
á
Portanto, para e para .

Passo 10

Calculamos os coeficientes Cn = 2 integral0^1 x(1 - x) sin(n pi x) dx :
Cn = 2n^3 pi^3 (2 (-1)^n - 2)
Este cálculo envolve integrais por partes e resulta em:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty [ 2 (1 - (-1)^n)n^3 pi^3 cos(8 n pi t) + 18 pi de
Onde é o símbolo de Kronecker, igual a 1 quando e 0 caso contrário.

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