Considere o problema de valor inicial com condições de fronteira a seguir.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial que descreve como uma quantidade
varia no espaço (
) e no tempo (
). A equação é conhecida como equação da onda. As condições fornecidas são:
- Condições de fronteira:
e , que indicam que nas posições e , a quantidade é sempre zero para qualquer tempo . - Condições iniciais:
e , que nos dizem o estado inicial de e sua taxa de variação no tempo quando .
Para resolver esse problema, vamos usar a separação de variáveis, uma técnica que permite resolver equações diferenciais parciais dividindo a função
em partes que dependem apenas de
e apenas de
.
Passo 2
Começamos assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções separadas:
Aqui,
depende apenas de
e
depende apenas de
.
Passo 3
Substituímos
na equação original da onda:
Derivando em relação ao tempo e ao espaço, temos:
Passo 4
Rearranjamos a equação para separar as variáveis:
Aqui, introduzimos uma constante
que iguala as duas expressões, já que cada lado da equação depende de uma única variável.
Passo 5
Isso nos leva a duas equações ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Vamos resolver a equação para
com as condições de fronteira
e
.
A solução geral da equação diferencial é:
Aplicando
:
Então,
.
Aplicando
:
Para que isso seja verdadeiro (não trivialidade A ≠ 0), precisamos que:
Então,
.
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para
com
:
A solução geral é:
Passo 8
Assim, a solução geral da equação da onda é uma soma de todas as soluções possíveis:
Passo 9
Aplicamos agora as condições iniciais para determinar os coeficientes
e
.
Primeiro, para
:
Isso implica que:
Segundo, para
:
Isso implica que:
Portanto,
para
e
para
.
Passo 10
Calculamos os coeficientes
:
Este cálculo envolve integrais por partes e resulta em:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada por:
Onde
é o símbolo de Kronecker, igual a 1 quando
e 0 caso contrário.