Calcule , onde é uma curva cuja imagem é o triângulo eierices e , orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral . O enunciado nos diz que é o contorno de um triângulo com vértices em , e , e que percorremos esse triângulo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que está dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla . A região é o triângulo com vértices em , e . Vamos descrever essa região para facilitar a integração.
Como vai de 0 a 1, e para cada , vai de 0 até a linha que liga a , que é simplesmente . Portanto, os limites de integração são: