Calcule , onde é uma curva cuja imagem é o triângulo eierices e , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . O enunciado nos diz que é o contorno de um triângulo com vértices em , e , e que percorremos esse triângulo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que está dentro dessa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla . A região é o triângulo com vértices em , e . Vamos descrever essa região para facilitar a integração.
Como vai de 0 a 1, e para cada , vai de 0 até a linha que liga a , que é simplesmente . Portanto, os limites de integração são:
Agora, configuramos a integral dupla:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos na integral externa:

Resposta

O valor da integral é igual a .

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