(Convergência e Divergência) Quais das sequências a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela tem um limite quando vai para o infinito) ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre limites de funções e, especificamente, sobre a função arco-tangente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função arco-tangente. A função é a inversa da tangente, ou seja, para cada valor de , nos dá o ângulo cujo tangente é . Uma propriedade importante dessa função é que, à medida que cresce sem limites (ou seja, vai para ), se aproxima de radianos (ou 90 graus).

Passo 3

Agora, aplicando isso à nossa sequência , percebemos que conforme aumenta, também aumenta. Mas, segundo a propriedade que mencionamos, mesmo que fique cada vez maior, o valor de nunca ultrapassa radianos. Isso significa que a sequência está se aproximando de conforme cresce.

Passo 4

Para formalizar, calculamos o limite da sequência quando tende ao infinito:
Isso mostra que a sequência converge, ou seja, ela tem um limite bem definido.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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