(Convergência e Divergência) Quais das sequências
a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Então, a gente tem uma sequência definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela tem um limite quando
vai para o infinito) ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre limites de funções e, especificamente, sobre a função arco-tangente (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função arco-tangente. A função
é a inversa da tangente, ou seja, para cada valor de
,
nos dá o ângulo cujo tangente é
. Uma propriedade importante dessa função é que, à medida que
cresce sem limites (ou seja,
vai para
),
se aproxima de
radianos (ou 90 graus).
Passo 3
Agora, aplicando isso à nossa sequência
, percebemos que conforme
aumenta,
também aumenta. Mas, segundo a propriedade que mencionamos, mesmo que
fique cada vez maior, o valor de
nunca ultrapassa
radianos. Isso significa que a sequência está se aproximando de
conforme
cresce.
Passo 4
Para formalizar, calculamos o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Isso mostra que a sequência
converge, ou seja, ela tem um limite bem definido.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
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Calcule
, onde
é uma curva cuja imagem é o triângulo eierices
e
, orientada no sentido anti-horário.
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Quais séries convergem? E quais divergem? Se a série converge, calcule sua soma.
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