Quais séries convergem? E quais divergem? Se a série converge, calcule sua soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se a soma dos seus termos tende a um número finito) ou diverge (não tem um valor finito). Se ela convergir, também vamos calcular a soma.
Passo 2
Vamos analisar a série passo a passo. Observamos que cada termo da série é a diferença entre
e
. Podemos reescrever a série assim:
Isso sugere que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos.
Passo 3
Para entender melhor, vamos escrever os primeiros termos da série:
Passo 4
Agora, somamos os termos até o termo
:
Perceba que
,
, …,
se cancelam, restando apenas:
Passo 5
Para encontrar a soma da série infinita, precisamos calcular o limite da soma parcial quando
tende ao infinito:
Resposta
A série converge e sua soma é igual a
.
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(Convergência e Divergência) Quais das sequências
a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Calcule
, onde
é uma curva cuja imagem é o triângulo eierices
e
, orientada no sentido anti-horário.
Quais séries convergem? E quais divergem? Se a série converge, calcule sua soma.
Dados
e
e
determinar:
.