Quais séries convergem? E quais divergem? Se a série converge, calcule sua soma.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se a soma dos seus termos tende a um número finito) ou diverge (não tem um valor finito). Se ela convergir, também vamos calcular a soma.

Passo 2

Vamos analisar a série passo a passo. Observamos que cada termo da série é a diferença entre e . Podemos reescrever a série assim:
Isso sugere que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 3

Para entender melhor, vamos escrever os primeiros termos da série:

Passo 4

Agora, somamos os termos até o termo :
Perceba que , , …, se cancelam, restando apenas:

Passo 5

Para encontrar a soma da série infinita, precisamos calcular o limite da soma parcial quando tende ao infinito:

Resposta

A série converge e sua soma é igual a .

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Dados
e
determinar:
.