Quais séries convergem? E quais divergem? Se a série converge, calcule sua soma.
sumn=1^infty(1n-11+n)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty(1n-1n+1)
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se a soma dos seus termos tende a um número finito) ou diverge (não tem um valor finito). Se ela convergir, também vamos calcular a soma.

Passo 2

Vamos analisar a série passo a passo. Observamos que cada termo da série é a diferença entre 1n e 1n+1. Podemos reescrever a série assim:
sumn=1^infty (1n - 1n+1)
Isso sugere que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 3

Para entender melhor, vamos escrever os primeiros termos da série:
n=1: & 11 - 12 n=2: & 12 - 13 n=3: & 13 - 14 & vdots n=k: & 1k - 1k+1

Passo 4

Agora, somamos os termos até o termo k:
sumn=1^k (1n - 1n+1) = (1 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + dots + (1k - 1k+1)
Perceba que 12, 13, …, 1k se cancelam, restando apenas:
1 - 1k+1

Passo 5

Para encontrar a soma da série infinita, precisamos calcular o limite da soma parcial quando k tende ao infinito:
limk to infty (1 - 1k+1) = 1 - 0 = 1

Resposta

A série converge e sua soma é igual a 1.

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