(Convergência e Divergência) Quais das sequências a_n a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_n = raiz(3^(2n + 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. Vamos usar conceitos de convergência de sequências e limites, especialmente lidando com raízes e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o cálculo do limite. A raiz -ésima pode ser reescrita como uma potência. Assim:

Passo 3

Agora, vamos dividir o expoente:
Então, a sequência fica:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Sabemos que:

Passo 5

Portanto, o limite da sequência é:

Resposta

A sequência converge e seu limite é 9.

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