Calcule integralgamma y1+x^2 y^2 d x+x1+x^2 y^2 d y onde gamma(t)=(e^t^2-1, t2 raiz1+3 t^2), t in[-1,1]
Escolha uma opção:
pi
1
pi4
pi2
32

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha! A gente precisa calcular a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva dada. Vamos usar conceitos de campos vetoriais conservativos e potenciais para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial que está sendo integrada. Temos e . A integral que queremos calcular é .

Passo 3

Para verificar se esse campo vetorial é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que e , a gente verifica se as derivadas parciais de e satisfazem .

Passo 4

Calculando as derivadas:
partial Ppartial y = 1 - x^2 y^2(1 + x^2 y^2)^2
partial Qpartial x = 1 - x^2 y^2(1 + x^2 y^2)^2
Como , o campo é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial phix = y1 + x^2 y^2 tal que:
phi(x, y) = integral y1 + x^2 y^2 dx = 1y tan^-1(x y) + h(y)
Integrando em relação a phiy = ddy ( 1y tan^-1(x y) ) + h'(y) = -tan^-1(x y)y^2 + x1 + x^2 y^2 + h'(y) :
Derivando em relação a e igualando a :
Para que , precisamos que , mas para simplificar, podemos considerar constante.

Passo 6

Com a função potencial encontrada, a integral de linha fica:
integralgamma P , dx + Q , dy = phi(gamma(1)) - phi(gamma(-1))
Agora, vamos calcular gamma(1) = ( e^1^2 - 1, 12 raiz1 + 3 cdot 1^2 ) = (1, 12 raiz4) = (1, 1) e gamma(-1) = ( e^(-1)^2 - 1, -12 raiz1 + 3 cdot (-1)^2 ) = (1, -1) :

Passo 7

Agora, aplicando a função potencial:
phi(1, 1) = 11 tan^-1(1 cdot 1) = tan^-1(1) = pi4
phi(1, -1) = 1-1 tan^-1(1 cdot (-1)) = -tan^-1(-1) = -(-pi4) = pi4

Resposta

A integral vale .

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