Calcule
onde
Escolha uma opção:
1
Escolha uma opção:
1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha! A gente precisa calcular a integral de uma função vetorial ao longo de uma curva dada. Vamos usar conceitos de campos vetoriais conservativos e potenciais para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial que está sendo integrada. Temos
e
. A integral que queremos calcular é
.
Passo 3
Para verificar se esse campo vetorial é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que
e
, a gente verifica se as derivadas parciais de
e
satisfazem
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Para que
, precisamos que
, mas para simplificar, podemos considerar
constante.
Passo 6
Com a função potencial encontrada, a integral de linha fica:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 7
Agora, aplicando a função potencial:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Calcule os limites.
Seja
a elipse
percorrida no sentido anti-horário e apenas uma vez. 0 valor da integral
é:
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Seja
. Calcule
onde
é a curva formada pelo segmento de reta do ponto
ao ponto
seguido pelo arco da circunferência
com Rylge 0 do ponto
ao ponto
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção: