Seja
a elipse
percorrida no sentido anti-horário e apenas uma vez. 0 valor da integral
é:
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Escolha uma opção:
(
Limpar minha escolha
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma integral de linha sobre a elipse
, percorrida uma vez no sentido anti-horário. O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha, especificamente usando o Teorema de Green para simplificar nossos cálculos. Vamos precisar separar a integral em partes mais simples e aplicar essas ferramentas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos calcular:
Passo 3
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 4
Vamos analisar a primeira integral:
Essa expressão é conhecida como o cálculo do ângulo polar
. Para uma curva fechada que envolve a origem uma vez, essa integral vale
.
Então:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
Essa integral representa duas vezes a área
da região limitada pela curva
, de acordo com o Teorema de Green.
Para uma elipse
, a área é:
Onde
e
(já que
).
Então:
Portanto:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral é
.