Seja C a elipse x^2+9 y^2=1 percorrida no sentido anti-horário e apenas uma vez. 0 valor da integral integralC(-yx^2+y^2-y) d x+(xx^2+y^2+x) d y é:
Escolha uma opção:
pi2
4 pi
( 8 pi3
2 pi
7 pi4
Limpar minha escolha

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma integral de linha sobre a elipse , percorrida uma vez no sentido anti-horário. O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha, especificamente usando o Teorema de Green para simplificar nossos cálculos. Vamos precisar separar a integral em partes mais simples e aplicar essas ferramentas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos calcular:
integralC ( -yx^2 + y^2 - y ) dx + ( xx^2 + y^2 + x ) dy

Passo 3

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integralC ( -yx^2 + y^2 ) dx + ( xx^2 + y^2 ) dy + integralC (-y , dx + x , dy)

Passo 4

Vamos analisar a primeira integral:
integralC ( -y , dx + x , dyx^2 + y^2 )
Essa expressão é conhecida como o cálculo do ângulo polar integralC ( -y , dx + x , dyx^2 + y^2 ) = 2pi . Para uma curva fechada que envolve a origem uma vez, essa integral vale .
Então:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
integralC (-y , dx + x , dy)
Essa integral representa duas vezes a área A = pi times a times b da região limitada pela curva A = pi times 1 times 13 = pi3 , de acordo com o Teorema de Green.
Para uma elipse integralC (-y , dx + x , dy) = 2 times pi3 = 2pi3 , a área é:
Onde e (já que ).
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
2pi + 2pi3 = 6pi3 + 2pi3 = 8pi3

Resposta

O valor da integral é .

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