Seja a elipse percorrida no sentido anti-horário e apenas uma vez. 0 valor da integral é:
Escolha uma opção:


(


Limpar minha escolha

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma integral de linha sobre a elipse , percorrida uma vez no sentido anti-horário. O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha, especificamente usando o Teorema de Green para simplificar nossos cálculos. Vamos precisar separar a integral em partes mais simples e aplicar essas ferramentas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos calcular:

Passo 3

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 4

Vamos analisar a primeira integral:
Essa expressão é conhecida como o cálculo do ângulo polar . Para uma curva fechada que envolve a origem uma vez, essa integral vale .
Então:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
Essa integral representa duas vezes a área da região limitada pela curva , de acordo com o Teorema de Green.
Para uma elipse , a área é:
Onde e (já que ).
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule onde
Escolha uma opção:

1


Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Seja . Calcule onde é a curva formada pelo segmento de reta do ponto ao ponto seguido pelo arco da circunferência com Rylge 0 do ponto ao ponto .
Escolha uma opção:




O conjunto dos pontos interseção da parábola com o elipsoide está contido no plano de equação
Escolha uma opção: