Calcule os limites.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da seguinte expressão quando
tende ao infinito:
Aqui, estamos lidando com limites de funções que envolvem frações e funções trigonométricas inversas. Vamos precisar lembrar como calcular limites de funções racionais e como se comporta a função arco-tangente (
) quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da expressão separadamente. A expressão está dentro de um par de colchetes angulares
, que geralmente representa um vetor com dois componentes. Então, vamos calcular o limite de cada parte:
Passo 3
Vamos começar com o primeiro componente:
Quando
vai para o infinito,
domina os termos constantes. Então, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
Então, o limite do primeiro componente é
.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo componente:
Primeiro, sabemos que
tende a
quando
vai ao infinito. Além disso,
tende a 0, então
tende a 1. Assim, a expressão fica aproximadamente:
Agora, conforme
vai para o infinito,
tende a 0. Portanto, o limite do segundo componente é 0.