Calcule os limites.
lim t inftylang<=1+t^21-t^2, tg^-1 t 1-e^-2 ttrang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da seguinte expressão quando lim t inftylang<=1+t^21-t^2, arctan t cdot 1-e^-2 ttrang<= tende ao infinito:
Aqui, estamos lidando com limites de funções que envolvem frações e funções trigonométricas inversas. Vamos precisar lembrar como calcular limites de funções racionais e como se comporta a função arco-tangente ( ) quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da expressão separadamente. A expressão está dentro de um par de colchetes angulares , que geralmente representa um vetor com dois componentes. Então, vamos calcular o limite de cada parte:

Passo 3

Vamos começar com o primeiro componente:
limt to infty 1 + t^21 - t^2
Quando 1/t^2 + 11/t^2 - 1 approx 0 + 10 - 1 = -1 vai para o infinito, domina os termos constantes. Então, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por :
Então, o limite do primeiro componente é .

Passo 4

Agora, vamos para o segundo componente:
limt to infty arctan t cdot 1 - e^-2tt
Primeiro, sabemos que pi2 cdot 1t tende a quando vai ao infinito. Além disso, tende a 0, então tende a 1. Assim, a expressão fica aproximadamente:
Agora, conforme vai para o infinito, tende a 0. Portanto, o limite do segundo componente é 0.

Resposta

lang<= -1, 0 rang<=

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