Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da curva cuja equação vetorial é . Isso significa que temos duas funções parametrizadas: e . Vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização para desenhar essa curva. Precisaremos entender como essas funções se comportam juntas conforme varia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação faz. A função oscila entre -1 e 1 conforme varia, criando um movimento de vai e vem no eixo . Já significa que à medida que aumenta, aumenta linearmente. Assim, combinando esses dois, a curva vai oscilar horizontalmente enquanto se move para cima no eixo .

Passo 3

Vamos traçar alguns pontos para visualizar melhor. Por exemplo:
  • Quando , e , então o ponto é (0, 0).
  • Quando , e , então o ponto é .
  • Quando , e , então o ponto é .
  • Quando , e , então o ponto é .
  • E assim por diante.

Passo 4

Conectando esses pontos, vemos que a curva forma uma espécie de “onda” que vai subindo no eixo . Como oscila entre -1 e 1, a curva vai para a direita e para a esquerda enquanto sobe. Isso cria um gráfico semelhante a uma espiral linear ou a uma mola desenhada estendida verticalmente.

Passo 5

Agora, vamos indicar a direção do crescimento de . Conforme aumenta, também aumenta, então a direção do movimento é para cima. Nas oscilações de , a curva vai indo da esquerda para a direita e vice-versa conforme a função seno oscila. Vamos adicionar setas na curva mostrando essa direção de subida.

Resposta

O gráfico da curva é uma onda senoidal que se estende continuamente para cima no eixo . A direção do crescimento de está indicada por setas que apontam para cima, mostrando que à medida que aumenta, a curva oscila horizontalmente enquanto se move verticalmente para cima.

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Calcule onde
Escolha uma opção:

1


Seja a elipse percorrida no sentido anti-horário e apenas uma vez. 0 valor da integral é:
Escolha uma opção:


(


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