Determinar uma equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
r(t) = (1/t, 1/t, t^2) ; t0 = 2

Passo 1

Beleza, galera! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo vetorial. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela função vetorial no ponto correspondente a . Para isso, vamos precisar entender como encontrar pontos específicos na curva e como determinar a direção da reta tangente usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto na curva quando . Isso significa substituir por 2 na função :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, para encontrar a direção da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá o vetor velocidade, que é a direção da reta tangente. Vamos derivar cada componente:

Passo 4

Vamos avaliar a derivada em para obter o vetor direção no ponto específico:
Então, o vetor direção da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação geral de uma reta no espaço é:
Onde é o ponto inicial e é o vetor direção. Substituindo nossos valores:
Isso nos dá as equações paramétricas da reta tangente.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto indicado é:
Onde é o parâmetro real.

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