Determinar uma equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
Passo 1
Beleza, galera! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo vetorial. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela função vetorial
no ponto correspondente a
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar pontos específicos na curva e como determinar a direção da reta tangente usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto na curva quando
. Isso significa substituir
por 2 na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, para encontrar a direção da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada
nos dá o vetor velocidade, que é a direção da reta tangente. Vamos derivar cada componente:
Passo 4
Vamos avaliar a derivada em
para obter o vetor direção no ponto específico:
Então, o vetor direção da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto
e o vetor direção
, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação geral de uma reta no espaço é:
Onde
é o ponto inicial e
é o vetor direção. Substituindo nossos valores:
Isso nos dá as equações paramétricas da reta tangente.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto indicado é:
Onde
é o parâmetro real.