Calcule
integralpartial V y d x-(x-1) d y(x-1)^2+y^2
onde V é a região limitada pelos círculos x^2+y^2=3 e (x-1)^2+y^2=9, onde V e partial V tem orientação compativel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
integralpartial V y , dx - (x-1) , dy(x-1)^2 + y^2
onde V é a região entre os círculos x^2+y^2=3 e (x-1)^2+y^2=9. O conteúdo principal aqui é cálculo integral, mais especificamente integração em caminhos fechados. Vamos precisar usar o Teorema de Green para transformar essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a região V.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema permite transformar uma integral de contorno em uma integral dupla. A fórmula é:
ointpartial V P , dx + Q , dy = integral duplaV ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
No nosso caso, temos P = y(x-1)^2 + y^2 e Q = -x-1(x-1)^2 + y^2.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x ( -x-1(x-1)^2 + y^2 )
Usando a regra do quociente:
partial Qpartial x = - (1) cdot ((x-1)^2 + y^2) - (x-1) cdot 2(x-1)((x-1)^2 + y^2)^2 = - (x-1)^2 + y^2 - 2(x-1)^2((x-1)^2 + y^2)^2 = - - (x-1)^2 + y^2((x-1)^2 + y^2)^2
Simplificando:
partial Qpartial x = (x-1)^2 - y^2((x-1)^2 + y^2)^2
Agora, vamos calcular:
partial Ppartial y = partialpartial y ( y(x-1)^2 + y^2 ) = (1) cdot ((x-1)^2 + y^2) - y cdot 2y((x-1)^2 + y^2)^2 = (x-1)^2 + y^2 - 2y^2((x-1)^2 + y^2)^2 = (x-1)^2 - y^2((x-1)^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointpartial V y , dx - (x-1) , dy(x-1)^2 + y^2 = integral duplaV ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (x-1)^2 - y^2((x-1)^2 + y^2)^2 - (x-1)^2 - y^2((x-1)^2 + y^2)^2 = 0

Passo 5

A integral dupla resultou em zero, o que significa que a integral de contorno também é zero. Isso faz sentido porque a expressão que estamos integrando é uma forma exata, e a região V não contém singularidades para essa forma.

Resposta

0

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