Calcule
onde é a região limitada pelos círculos e , onde e tem orientação compativel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
onde é a região entre os círculos e . O conteúdo principal aqui é cálculo integral, mais especificamente integração em caminhos fechados. Vamos precisar usar o Teorema de Green para transformar essa integral de contorno em uma integral dupla sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema permite transformar uma integral de contorno em uma integral dupla. A fórmula é:
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, vamos calcular:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

A integral dupla resultou em zero, o que significa que a integral de contorno também é zero. Isso faz sentido porque a expressão que estamos integrando é uma forma exata, e a região não contém singularidades para essa forma.

Resposta

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