Verdadeiro (V) ou Falso (F)
d)( )Se uma função f(x, y) tem derivadas parciais contínuas em (a, b) então f é diferenciável em (a, b)
d)( )Se uma função f(x, y) tem derivadas parciais contínuas em (a, b) então f é diferenciável em (a, b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se, se uma função de duas variáveis
tem derivadas parciais contínuas no ponto
, isso garante que a função seja diferenciável nesse ponto. Vamos precisar entender o que são derivadas parciais contínuas e o que significa uma função ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, derivadas parciais contínuas significam que as derivadas de
em relação a
e
existem e não têm “saltos” ou “interrupções” próximas de
. Em outras palavras, se a gente variar
ou
um pouquinho, as derivadas não mudam de maneira brusca.
Passo 3
Agora, diferenciabilidade em
quer dizer que a função pode ser bem aproximada por uma reta (ou plano, no caso de duas variáveis) nesse ponto. Isso implica que a função não só tem derivadas, mas que essas derivadas estão organizadas de forma que a função se comporta “suavemente” perto de
.
Passo 4
Existe um teorema na matemática que diz exatamente isso: se uma função tem derivadas parciais contínuas em um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto. Isso porque a continuidade das derivadas garante que a aproximação linear da função é válida.
Resposta
Verdadeiro (V).
Exercícios relacionados
Inverter a ordem de integração.
Calcule
onde
é a região limitada pelos círculos
e
, onde
e
tem orientação compativel.
Considere a equação diferencial dada abaixo:
(d) (1.0 ponto) Obtenha a solução
correspondente à maior raiz da equação indicial.
Considere a equação diferencial
(a) (1.0 ponto) Verifique que
é ponto ordinário da equação. Encontre a relação de recorrência da solução em série de potências de
, em torno de
.