Verdadeiro (V) ou Falso (F)
d)( )Se uma função f(x, y) tem derivadas parciais contínuas em (a, b) então f é diferenciável em (a, b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se, se uma função de duas variáveis tem derivadas parciais contínuas no ponto , isso garante que a função seja diferenciável nesse ponto. Vamos precisar entender o que são derivadas parciais contínuas e o que significa uma função ser diferenciável.

Passo 2

Primeiro, derivadas parciais contínuas significam que as derivadas de em relação a e existem e não têm “saltos” ou “interrupções” próximas de . Em outras palavras, se a gente variar ou um pouquinho, as derivadas não mudam de maneira brusca.

Passo 3

Agora, diferenciabilidade em quer dizer que a função pode ser bem aproximada por uma reta (ou plano, no caso de duas variáveis) nesse ponto. Isso implica que a função não só tem derivadas, mas que essas derivadas estão organizadas de forma que a função se comporta “suavemente” perto de .

Passo 4

Existe um teorema na matemática que diz exatamente isso: se uma função tem derivadas parciais contínuas em um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto. Isso porque a continuidade das derivadas garante que a aproximação linear da função é válida.

Resposta

Verdadeiro (V).

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