Inverter a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que inverter a ordem de integração da integral dupla
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente em integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como a região de integração está definida no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região onde estamos integrando. No caso,
varia de 1 a 2, e para cada
,
varia de 0 até
. Isso significa que estamos olhando para uma área triangular no plano
, onde a base está no intervalo de
a
, e a altura para cada
vai de
até
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, queremos que
seja a variável externa e
a interna. Para isso, precisamos descobrir como
varia em termos de
.
Quando olhamos para a região triangular:
-
varia de 0 a 2 (já que vai até 2 e vai até ). - Para cada valor de
, começa onde é pelo menos 1 ou , o que for maior, e vai até 2.
Então, temos dois casos:
- Quando
está entre 0 e 1, varia de 1 a 2. - Quando
está entre 1 e 2, varia de a 2.
Passo 4
Com isso, podemos reescrever a integral dividindo em duas partes para cobrir esses casos:
Isso garante que estamos cobrindo toda a região de integração original, apenas invertendo a ordem das integrações.
Resposta
A ordem de integração invertida fica:
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é a região limitada pelos círculos
e
, onde
e
tem orientação compativel.
Descreva a trajetória de um ponto móvel
, cujo deslocamento é expresso por:
.
Verdadeiro (V) ou Falso (F)
d)( )Se uma função f(x, y) tem derivadas parciais contínuas em (a, b) então f é diferenciável em (a, b)
d)( )Se uma função f(x, y) tem derivadas parciais contínuas em (a, b) então f é diferenciável em (a, b)
Considere a equação diferencial dada abaixo:
(d) (1.0 ponto) Obtenha a solução
correspondente à maior raiz da equação indicial.