Inverter a ordem de integração. integral1^2 integral0^x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que inverter a ordem de integração da integral dupla . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente em integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como a região de integração está definida no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde estamos integrando. No caso, varia de 1 a 2, e para cada , varia de 0 até . Isso significa que estamos olhando para uma área triangular no plano , onde a base está no intervalo de a , e a altura para cada vai de até .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos que seja a variável externa e a interna. Para isso, precisamos descobrir como varia em termos de .
Quando olhamos para a região triangular:
  • varia de 0 a 2 (já que vai até 2 e vai até ).
  • Para cada valor de , começa onde é pelo menos 1 ou , o que for maior, e vai até 2.
Então, temos dois casos:
  1. Quando está entre 0 e 1, varia de 1 a 2.
  2. Quando está entre 1 e 2, varia de a 2.

Passo 4

Com isso, podemos reescrever a integral dividindo em duas partes para cobrir esses casos:
integral0^1 integral1^2 f(x, y) , dx , dy + integral1^2 integraly^2 f(x, y) , dx , dy
Isso garante que estamos cobrindo toda a região de integração original, apenas invertendo a ordem das integrações.

Resposta

A ordem de integração invertida fica:
integral0^1 integral1^2 f(x, y) , dx , dy + integral1^2 integraly^2 f(x, y) , dx , dy

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