Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial onde temos
com as condições iniciais
e
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
, encontramos as raízes:
Então,
e
.
Passo 4
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução na forma:
onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação original:
Então,
e
.
Passo 7
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, para
:
Então,
(Equação 1)
Passo 10
Calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Então,
(Equação 2)
Passo 11
Resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Então,
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: