y'' - 3y' + 2y = e^(-4t), y(0) = 1, y'(0) = 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial onde temos com as condições iniciais e . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica: .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática , encontramos as raízes:
Então, e .

Passo 4

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , tentamos uma solução na forma:
onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação original:
Então, e .

Passo 7

Portanto, a solução particular é:

Passo 8

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, para :
Então, (Equação 1)

Passo 10

Calculamos a derivada de :
Aplicando :
Então, (Equação 2)

Passo 11

Resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Então,

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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