Beleza, vamos resolver essa equação diferencial onde temos com as condições iniciais e . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica: .
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática , encontramos as raízes:
Então, e .
Passo 4
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , tentamos uma solução na forma:
onde é uma constante a ser encontrada.
Passo 6
Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação original:
Então, e .
Passo 7
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, para :