Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de superfície , onde é uma superfície parametrizada por com e . Esse exercício está na área de cálculo multivariável, especificamente em integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, calcular o elemento de área e então integrar a função sobre essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e a partir da parametrização . Dado:
Então:
Queremos calcular :
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de área . Para isso, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais de em relação a e :
O próximo passo é calcular o produto vetorial desses vetores tangentes:
A magnitude desse vetor é:
Então, o elemento de área é:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral de superfície. Sabemos que:
integralS x y , dS = integralD (u^2 - v^2) cdot raiz14 , du , dv
Onde é a região de integração no plano definida por e .
Passo 5
Vamos calcular a integral:
integral0^1 integral0^u (u^2 - v^2) cdot raiz14 , dv , du
Primeiro, integramos em relação a raiz14 integral0^1 [ u^2 v - v^33 ]0^u , du = raiz14 integral0^1 ( u^3 - u^33 ) , du = raiz14 integral0^1 2u^33 , du :