Calcule , onde é a superfície parametrizada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de superfície , onde é uma superfície parametrizada por com e . Esse exercício está na área de cálculo multivariável, especificamente em integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, calcular o elemento de área e então integrar a função sobre essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e a partir da parametrização . Dado:
Então:
Queremos calcular :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de área . Para isso, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais de em relação a e :
O próximo passo é calcular o produto vetorial desses vetores tangentes:
A magnitude desse vetor é:
Então, o elemento de área é:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral de superfície. Sabemos que:
Onde é a região de integração no plano definida por e .

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
Determine todas as Assíntotas das funções definidas abaixo e, se possível, faça o gráfico. Não é necessario encontrar a assíntota oblíqua.

Resp: e