Calcule integralS x y d S, onde S é a superfície parametrizada por:
varphi(u, v)=(u-v, u+v, 2 u+v+1), com(u, v) in D: 0 <= u <= 10 <= v <= u Resp raiz146

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de superfície , onde é uma superfície parametrizada por com e . Esse exercício está na área de cálculo multivariável, especificamente em integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, calcular o elemento de área e então integrar a função sobre essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções varphi(u, v) = (u - v, , u + v, , 2u + v + 1) e x(u, v) = u - v e y(u, v) = u + v a partir da parametrização x y = (u - v)(u + v) = u^2 - v^2 . Dado:
Então:
Queremos calcular :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de área varphiu = partial varphipartial u = (1, , 1, , 2) . Para isso, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais de varphiv = partial varphipartial v = (-1, , 1, , 1) em relação a varphiu times varphiv = i & j & k 1 & 1 & 2 -1 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 2 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - (-1) cdot 1) e = i(-1) - j(3) + k(2) = (-1, -3, 2) :
|varphiu times varphiv| = raiz(-1)^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14
dS = |varphiu times varphiv| , du , dv = raiz14 , du , dv
O próximo passo é calcular o produto vetorial desses vetores tangentes:
A magnitude desse vetor é:
Então, o elemento de área é:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral de superfície. Sabemos que:
integralS x y , dS = integralD (u^2 - v^2) cdot raiz14 , du , dv
Onde é a região de integração no plano definida por e .

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral0^1 integral0^u (u^2 - v^2) cdot raiz14 , dv , du
Primeiro, integramos em relação a raiz14 integral0^1 [ u^2 v - v^33 ]0^u , du = raiz14 integral0^1 ( u^3 - u^33 ) , du = raiz14 integral0^1 2u^33 , du :
raiz14 cdot 23 cdot [ u^44 ]0^1 = raiz14 cdot 23 cdot 14 = raiz146
Agora, integramos em relação a :

Resposta

raiz146

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