Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma série para analisar:
. O nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente ainda tenta calcular a soma. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma coisa importante sobre séries. Para uma série
convergir, é necessário que o limite dos termos
quando
tende ao infinito seja zero. Isso quer dizer que:
Vamos calcular esse limite.
Passo 3
Observando o termo
: conforme
aumenta,
fica cada vez menor, se aproximando de zero. Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, aplicando o teste da divergência: se o limite dos termos de uma série não é zero, a série não converge. No nosso caso, o limite é 1, que não é zero. Portanto, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Existe uma função
tal que
para todo
?
Reparametrize a curva
relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto
na direção crescente de
.
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Calcule
, onde
é a superfície parametrizada por: