Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema é:
Vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e como usar as propriedades dela para transformar a equação no domínio de
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
E também:
Como
e
, simplificamos as transformadas.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:
Passo 4
Agora, fatoramos
do lado esquerdo:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão de
usando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador quadrático:
Então, reescrevemos
:
Passo 6
Aplicamos a decomposição em frações parciais:
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum para encontrar
,
e
.
Passo 7
Resolvendo para
,
e
, encontramos que:
Então, a decomposição fica:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo. Sabemos que:
E:
Passo 9
Aplicando isso aos termos de
:
E para o segundo termo:
Passo 10
Somando os resultados das transformadas inversas:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Existe uma função
tal que
para todo
?
Calcule
, onde
é a superfície parametrizada por:
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.