Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema é:
Vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e como usar as propriedades dela para transformar a equação no domínio de .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembre-se que:
E também:
Como e , simplificamos as transformadas.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:

Passo 4

Agora, fatoramos do lado esquerdo:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão de usando frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador quadrático:
Então, reescrevemos :

Passo 6

Aplicamos a decomposição em frações parciais:
Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum para encontrar , e .

Passo 7

Resolvendo para , e , encontramos que:
Então, a decomposição fica:

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo. Sabemos que:
E:

Passo 9

Aplicando isso aos termos de :
E para o segundo termo:

Passo 10

Somando os resultados das transformadas inversas:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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