Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta. sumn=1^infty(-1)^2 n+1 1raizn

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício que pede para verificar se uma série é convergente ou divergente. A série em questão é:
sumn=1^infty(-1)^2 n+1 1raizn
Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso. Precisamos entender o comportamento dos termos da série para saber se a soma deles chega a um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão (-1)^2n+1 = (-1)^2n cdot (-1)^1 = 1 cdot (-1) = -1 . Sabemos que sumn=1^infty -1raizn = -sumn=1^infty 1raizn porque qualquer número elevado a um número par é positivo. Então:
Isso significa que a série original pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, temos uma série do tipo , multiplicada por -1. Vamos analisar a convergência dessa série sem o sinal negativo, já que a multiplicação por -1 não afeta a convergência.

Passo 4

Para determinar se a série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Série . Esse teste diz que a série converge se e somente se .
No nosso caso, temos , que é menor que 1.

Passo 5

Como , de acordo com o Teste da Série , a série diverge.

Passo 6

Voltando à nossa série original, que é , como multiplicar por -1 não muda a convergência, isso significa que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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