Calcule integral[sen(2 theta)+cos (2 theta)]^3 d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve cálculo de integrais e trigonometria. Para resolver, vamos expandir o termo elevado ao cubo e integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 usando a fórmula do cubo da soma:
[sin(2theta) + cos(2theta)]^3 = sin^3(2theta) + 3sin^2(2theta)cos(2theta) + 3sin(2theta)cos^2(2theta) + cos^3(2theta)
Aqui, e . Então:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral sin^3(2theta) dtheta + 3integral sin^2(2theta)cos(2theta) dtheta + 3integral sin(2theta)cos^2(2theta) dtheta + integral cos^3(2theta) dtheta

Passo 4

Começando com integral sin^3(2theta) dtheta = integral sin(2theta)(1 - cos^2(2theta)) dtheta , podemos usar a identidade -12 integral (1 - u^2) du = -12(u - u^33) + C = -12cos(2theta) + 16cos^3(2theta) + C :
Fazendo a substituição , então :

Passo 5

Para 32 integral u^2 du = 32 cdot u^33 + C = 12sin^3(2theta) + C , usamos a substituição , então :

Passo 6

Já para -32 integral u^2 du = -32 cdot u^33 + C = -12cos^3(2theta) + C , fazemos a substituição , então :

Passo 7

Por fim, integral cos^3(2theta) dtheta = integral cos(2theta)(1 - sin^2(2theta)) dtheta pode ser resolvida usando 12 integral (1 - u^2) du = 12(u - u^33) + C = 12sin(2theta) - 16sin^3(2theta) + C :
Fazendo a substituição , :

Resposta

Somando todas as partes integradas, temos:
-12cos(2theta) + 16cos^3(2theta) + 12sin^3(2theta) - 12cos^3(2theta) + 12sin(2theta) - 16sin^3(2theta) + C
Simplificando os termos semelhantes:
-12cos(2theta) + 12sin(2theta) + C
Portanto, a integral é:
integral[sin(2theta) + cos(2theta)]^3 dtheta = 12sin(2theta) - 12cos(2theta) + C

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